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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.4 - Ex. 23

Calcule a integral.

∫ - 1 0 2 x - e x d x

Passo 1

Oie, tudo beleza? 😊

Precisamos calcular quanto vale a integral definida

∫ - 1 0 2 x - e x d x .

✏️ Anota aí: Nessa questão, o intervalo de integração [ a ,   b ] é igual a [ - 1 ,   0 ] e o integrando é a função f x =   2 x - e x .

🛠️ Sabendo disso, vamos relembrar de algumas ferramentas que vão nos ajudar a resolver esse exercício:

  • Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo: se a função f é contínua no intervalo [ a ,   b ] então

    • ∫ a b f x d x = ∫ f x d x a b

    onde ∫ f x d x é a primitiva da função f , ou seja,

    d d x ∫ f ( x ) d x   = f x .

  • A integral indefinida de uma soma de funções é a soma das integrais indefinidas de cada uma das funções.

∫ f x + g x d x =   ∫ f x d x +   ∫ g ( x ) d x .

  • Regra da Potência: para qualquer n ≠ 1 ,   a integral indefinida da função x n é a função

    • ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + B ,

    onde B é uma constante qualquer.

  • A integral indefinida da função exponencial é a função

∫ e x d x = e x + C ,

onde C é uma constante qualquer.

Bem, isso é tudo o que precisamos para resolver a questão!

👀 Nos próximos passos, vamos encontrar a integral indefinida da função f e obter o seu valor nos extremos do intervalo [ - 1 ,   0 ] .

Bora lá!

Passo 2

Começamos encontrando a integral indefinida

��� 2 x - e x d x .

Para isso, usamos que

∫ 2 x - e x d x = ∫ 2 x d x - ∫ e x d x .

Usando a Regra da Potência em cada um dos termos, temos que

∫ 2 x d x = 2 2 x 2 + C 1 ,

e para a primitiva da exponencial temos que que

∫ e x d x = e x + C 2 .

Dessa forma, vamos ter que

∫ 2 x - e x d x = x 2 - e x + C 3 ,

onde C 3 = C 1 - C 2 .

Observe que derivando a expressão que acabamos de encontrar, obtemos

d d x x 2 - e x + C 3 = 2 x - e x = f ( x ) ,

então encontramos a integral indefinida (primitiva) de f certinha 🎉!

Passo 3

Agora, só precisamos usar a Parte 2 do Teorema Fundamental. Lembrando que o nosso intervalo de integração é [ - 1 ,   0 ] , temos:

∫ - 1 0 2 x - e x d x = ∫ 2 x - e x d x - 1 0 .  

Como no passo anterior encontramos que

∫ 2 x - e x d x = x 2 - e x + C 3 ,

calculando o valor da integral indefinida nos pontos extremos do intervalo de integração temos que:

Em x = 0

∫ 2 x - e x d x ​ x = 0 = 0 2 - e 0 + C 3 ,

ou seja,

∫ 2 x - e x d x ​ x = 0 = - 1 + C 3 .

Em x =   - 1

∫ 2 x - e x d x ​ x = - 1 = - 1 2 - e - 1 + C 3 ,

ou seja,

∫ 2 x - e x d x ​ x = - 1 = 1 - e - 1 + C 3 .

Substituindo na igualdade do Teorema e fazendo as contas, temos que:

∫ - 1 0 2 x - e x d x = - 1 + C 3 - �� 1 - e - 1 + C 3 ,

ou seja, a integral procurada vale

∫ - 1 0 2 x - e x d x = e - 1 - 2 .

Resposta

A integral vale:

∫ - 1 0 2 x - e x d x = e - 1 - 2 .

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