Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.4 - Ex. 26

Calcule a integral.

∫ 0 4 2 v + 5 3 v - 1 d v

Passo 1

E aí, galera 😊!

Nessa questão, temos que calcular a integral definida

∫ 0 4 2 v + 5 3 v - 1 d v .

✏️ Anota aí: O intervalo de integração [ a ,   b ] é igual a [ 0 ,   4 ] e o integrando é a função

f v = ( 2 v + 5 ) ( 3 v - 1 ) ,

ou seja,

f v =   6 v 2 + 13 v - 5 .

Reescrever o integrando dessa forma vai facilitar o nosso trabalho, beleza 😉?

🛠️ Sabendo disso, vamos relembrar de algumas ferramentas que vão nos ajudar a resolver esse exercício:

  • Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo: se a função f é contínua no intervalo [ a ,   b ] então

    • ∫ a b f v d v = ∫ f v d v a b

    onde ∫ f v d v é a primitiva da função f , ou seja,

    d d v ∫ f ( v ) d v   = f v .

  • A integral indefinida de uma soma de funções é a soma das integrais indefinidas de cada uma das funções.

    • ∫ f v + g v d v =   ∫ f v d v +   ∫ g ( v ) d v .

  • A integral indefinida do produto entre uma constante e uma função é o produto entre a constante e a integral indefinida da função.

∫ c f v d v =   c ∫ f ( v ) d v .

  • Regra da Potência: para qualquer n ≠ 1 ,   a integral indefinida da função v n é a função

∫ v n d v = v n + 1 n + 1 + B ,

onde B é uma constante qualquer.

Bem, isso é tudo o que precisamos para resolver a questão!

👀 Nos próximos passos, vamos encontrar a integral indefinida da função f e obter o seu valor nos extremos do intervalo [ 0 ,   4 ] .

Bora lá!

Passo 2

Começamos encontrando a integral indefinida

∫ 6 v 2 + 13 v - 5   d v .

Para isso, usamos que (lembrando que 1 = v 0 )

∫ 6 v 2 + 13 v - 5   d v = 6 ∫ v 2   d v + 13 ∫ v d v - 5 ∫ 1 d v .

Usando a Regra da Potência em cada um dos termos, temos que

∫ 6 v 2 + 13 v - 5   d v = 2 v 3 + 13 v 2 2 - 5 v + C .

Observe que derivando a expressão que encontramos, temos que:

d d v 2 v 3 + 13 v 2 2 - 5 v + C = 6 v 2 + 13 v - 5 = f ( v ) ,

então encontramos a integral indefinida (primitiva) de f certinha 🎉!

Passo 3

Agora, só precisamos usar a Parte 2 do Teorema Fundamental!

Lembrando que o nosso intervalo de integração é [ 0 ,   4 ] , temos que:

∫ 0 4 6 v 2 + 13 v - 5   d v = ∫ 6 v 2 + 13 v - 5   d v 0 4 .

Como no Passo anterior encontramos que

∫ 6 v 2 + 13 v - 5   d v = 2 v 3 + 13 v 2 2 - 5 v + C ,

então calculando o valor da integral indefinida nos pontos extremos do intervalo de integração temos que:

Em v =   4

∫ 6 v 2 + 13 v - 5   d v ​ v = 4 = 2 ⋅ 4 3 + 13 ⋅ 4 2 2 - 5 ⋅ 4 + C ,

ou seja,

∫ 6 v 2 + 13 v - 5   d v ​ v = 4 = 128 + 104 - 20 + C 3 = 212 + C .

Em v = 0

∫ 6 v 2 + 13 v - 5   d v ​ v = 0 = 2 ⋅ 0 3 + 13 ⋅ 0 2 2 - 5 ⋅ 0 + C ,

ou seja,

∫ 6 v 2 + 13 v - 5   d v ​ v = 0 = C .

Substituindo os valores encontrados na igualdade do Teorema, temos que:

∫ 0 4 6 v 2 + 13 v - 5   d v = 212 + C - C = 212 .  

Dessa forma, a integral procurada vale

∫ 0 4 2 v + 5 3 v - 1 d v = ∫ 0 4 6 v 2 + 13 v - 5   d v = 212 .

Resposta

A integral vale:

∫ 0 4 2 v + 5 3 v - 1 d v = 212 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integralint_((pi)/(4))^((pi)/(3)) sec (theta) t g (theta) d theta
O custo marginal de fabricação de x jardas de um certo tecido é C ' x = 3 - 0,01 x + 0,000006 x 2 (em dólares por jardas). Ache o aumento do custo se o nível de produção for elevado de 2000 para 4000
Em 17 de maio de 1992 o ônibus espacial Endeavour foi lançado na missão STS-49 cujo propósito era instalar uma peça nova em um satélite de comunicação do INTELSAT. A tabela dá os dados da velocidade p
Calcule a integralint_4^9 (sqrt(x) + (1)/(sqrt(x)))^2 d x
Se as unidades de x são pés e as unidades para a ( x ) são libras por pé, quais são as unidades para d a d x ? Quais são as unidades para ∫ 2 8 a x d x ?