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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 5.4 - Ex. 25

Calcule a integral.

∫ - 2 2 3 u + 1 2 d u

Passo 1

Fala aí, tudo certinho 😎?

Queremos encontrar o valor da integral definida

∫ - 2 2 3 u + 1 2 d u .

✏️ Anota aí: Nessa questão, o intervalo de integração [ a ,   b ] é igual a [ - 2 ,   2 ] e o integrando é a função f u =   3 u + 1 2 .   Para facilitar, vamos considerar a função f na sua forma expandida, beleza? f u = 3 u + 1 3 u + 1 =   9 u 2 + 6 u + 1 .

🛠️ Sabendo disso, vamos relembrar de algumas ferramentas que vão nos ajudar a resolver esse exercício:

  • Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo: se a função f é contínua no intervalo [ a ,   b ] então

    • ∫ a b f u d u = ∫ f u d u a b ,

    onde ∫ f x d x é a primitiva da função f , ou seja,

    d d u ∫ f ( u ) d u   = f u .

  • A integral indefinida de uma soma de funções é a soma das integrais indefinidas de cada uma das funções.

∫ f u + g u d u =   ∫ f u d u +   ∫ g ( u ) d u .

  • Regra da Potência: para qualquer n ≠ 1 ,   a integral indefinida da função u n é a função

∫ u n d x = u n + 1 n + 1 + B ,

onde B é uma constante qualquer.

Bem, isso é tudo o que precisamos para resolver a questão!

👀 Nos próximos passos, vamos encontrar a integral indefinida da função f e obter o seu valor nos extremos do intervalo [ - 2 ,   2 ] .

Bora lá!

Passo 2

Começamos encontrando a integral indefinida

∫ 9 u 2 + 6 u + 1   d x .

Para isso, usamos que

∫ 9 u 2 + 6 u + 1 d u = ∫ 9 u 2 d u + ∫ 6 u   d u +   ∫ 1 d u .

Usando a Regra da Potência em cada um dos termos, temos que:

∫ 9 u 2 + 6 u + 1 d u = 3 u 3 + 3 u 2 + u + C .

Observe que derivando a expressão que acabamos de encontrar, obtemos

d d x 3 u 3 + 3 u 2 + u + C = 9 u 2 + 6 u + 1 = f ( u ) ,

então não fizemos nenhuma besteira e encontramos a integral indefinida (primitiva) de f certinha 🎉!

Passo 3

Agora, só precisamos usar a Parte 2 do Teorema Fundamental. Lembrando que o nosso intervalo de integração é [ - 2 ,   2 ] , temos:

∫ - 2 2 9 u 2 + 6 u + 1 d u =   ∫ 9 u 2 + 6 u + 1 d u - 2 0 .

Como no passo anterior encontramos que

∫ 9 u 2 + 6 u + 1 d u = 3 u 3 + 3 u 2 + u + C ,

calculando o valor da integral indefinida nos pontos extremos do intervalo de integração temos que:

Em u = 2

∫ 9 u 2 + 6 u + 1 d u ​ u = 2 = 3 2 3 + 3 2 2 + 2 + C ,

ou seja,

∫ 9 u 2 + 6 u + 1 d u ​ u = 2 = 24 + 12 + 2 + C = 38 + C .

Em u =   - 2

∫ 9 u 2 + 6 u + 1 d u ​ u = - 2 =   3 - 2 3 + 3 - 2 2 + - 2 + C ,

ou seja,

∫ 9 u 2 + 6 u + 1 d u ​ u = - 2 = - 24 + 12 - 2 + C = - 14 + C .

Substituindo na igualdade do Teorema e fazendo as contas, temos que:

∫ - 2 2 9 u 2 + 6 u + 1 d u = 38 + C - - 14 + C ,

logo, a integral procurada vale

∫ - 2 2 3 u + 1 2 d u = ∫ - 2 2 9 u 2 + 6 u + 1 d u = 52 .

Resposta

A integral vale:

∫ - 2 2 3 u + 1 2 d u = 52 .

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