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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 72

Use um recurso gráfico computacional para gerar os gráficos de f ' e de f ' ' no intervalo indicado e, então, use-os para estimar as coordenadas x dos extremos relativos de f . Verifique se as suas estimativas estão de acordo com o gráfico de f .

f x = sen ⁡ x 2 cos ⁡ x ,     - π 2 ≤ x ≤ π 2

Passo 1

Para achar os pontos relativos de f x vamos encontrar a primeira derivada:

f ' x = cos ⁡ x 2 ⋅ 1 2 cos ⁡ x + sen ⁡ x 2 - sen ⁡ x = 1 2 cos ⁡ x 2 cos ⁡ x - sen ⁡ x 2 sen ⁡ x

Vamos fazer o gráfico:

Temos que os zeros da função são em:

x = - 0,841

x = 0,841

Passo 2

Agora vamos usar o teste da segunda derivada, vamos calcular f ' ' x :

f ' ' x = 1 2 - sen ⁡ x 2 1 2   cos ⁡ x + 1 2 cos ⁡ x 2 - sen ⁡ x - cos ⁡ x 2 1 2   sen ⁡ x + sen ⁡ x 2 cos ⁡ x =

= - 1 4 sen ⁡ x 2   cos ⁡ x - 1 2 cos ⁡ x 2 sen ⁡ x - 1 2 cos ⁡ x 2   sen ⁡ x - sen ⁡ x 2 cos ⁡ x =

= - 5 4 sen ⁡ x 2   cos ⁡ x - cos ⁡ x 2 sen ⁡ x

Vamos usar o Teste da Derivada Segunda:

Se f ' x 0 = 0 e f ' ' x 0 > 0 , então f tem um mínimo relativo em x 0 .

Se f ' x 0 = 0 e f ' ' x 0 < 0 , então f tem um máximo relativo em x 0 .

Se f ' x 0 = 0 e f ' ' x 0 = 0 , então o teste é inconclusivo, isto é, f pode ter um máximo ou mínimo relativo em x 0 ou nenhum dos dois.

Vamos então analisar os sinais nos pontos críticos:

Em x = 0,841 a segunda derivada é negativa, assim pelo Teste da Derivada Segunda temos que é um máximo relativo.

E em   x = - 0,841 a segunda derivada é positiva, então é um mínimo relativo.

Passo 3

Vamos agora conferir pelo gráfico de f :

Por ele conseguimos ver que temos que x = 0,841 é um máximo relativo e x = - 0,841 é um mínimo relativo.

Resposta

x = 0,841 é um máximo relativo e x = - 0,841 é um mínimo relativo

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