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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.9 - Ex. 51

51-a) Use um CAS para encontrar o valor exato da integral

∫ 0 π 6 s e n 4 x c o s 3 x   d x

b)Confirme o valor exato calculando à mão.

[Sugestão: Use a identidade cos 2 ⁡ x = 1 - s e n 2 x ]

Passo 1

b)Gente, vamos pensar um pouco na substituição que nós podemos fazer pra resolver isso aí.

Olha só, se nós substituirmos a identidade trigonométrica na integral vamos ter isso aqui:

∫ 0 π 6 s e n 4 x   c o s x   ( 1 - se n 2 ⁡ x )   d x

Melhorou um pouco.... Mas nós temos que dar um jeito de tirar esse cosseno daí.

Bom, nós podemos fazer isso aqui:

u 4 = s e n 4 x

u 4 4 = s e n 4 x 4

u = s e n x

d u = c o s x   d x

Substituindo na integral, temos:

∫ 0 π 6 u 4     ( 1 - u 2 )   d u

Ebaaaa, nos livramos do cosseno

Resolvendo...

∫ 0 π 6 u 4 - u 6   d u = u 5 5 - u 7 7 0 π 6

Antes de nós substituirmos os valores, vamos voltar com o nosso ' x ' :

s e n 5 x 5 - s e n 7 x 7 0 π 6

Passo 2

Agora sim, podemos continuar :

s e n 5 π 6 5 - s e n 7 π 6 7 - s e n 5 0 5 - s e n 7 0 7

= 5,13 × 10 - 3

Ou

= 23 4480

Resposta

23 4480

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