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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.Exercícios práticos - Ex. 53

Encontre os comprimentos das curvas dadas pelas equações de coordenadas polares nos Exercícios 51-54.

r = 8 s e n 3 θ 3 ; 0 ≤ θ ≤ π 4

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de equações paramétricas e coordenadas polares.

Vamos agora resolver os exercícios práticos sobre comprimentos em coordenadas polares.

Para determinarmos o comprimento pedido, usaremos a formulação:

L = ∫ θ 1 θ 2 r 2 + d r d θ 2 d θ

Vamos derivar r em relação a θ:

d r d θ = d d θ 8 s e n 3 θ 3 = 8 ∙ 3 s e n 2 θ 3 ∙ cos ⁡ θ 3 ∙ 1 3 = 8 s e n 2 θ 3 cos ⁡ θ 3

Teremos então que:

L = ∫ 0 π / 4 8 s e n 3 θ 3 2 + 8 s e n 2 θ 3 cos ⁡ θ 3 2 d θ = ∫ 0 π / 4 6 4 s e n 6 θ 3 + 64 s e n 4 θ 3 cos 2 ⁡ θ 3 d θ =

= ∫ 0 π / 4 64 s e n 6 θ 3 + 64 s e n 4 θ 3 1 - s e n 2 θ 3 d θ = ∫ 0 π / 4 64 s e n 6 θ 3 + 64 s e n 4 θ 3 - 64 s e n 6   θ 3 d θ = ∫ 0 π / 4 64 s e n 4 θ 3 d θ =

= ∫ 0 π / 4 8 s e n 2   θ 3 d θ = ∫ 0 π / 4 8 1 - cos ⁡ 2 θ 3 2 d θ = ∫ 0 π / 4 4 - 4 cos ⁡ 2 θ 3 d θ

Passo 2

Integrando e substituindo os limites de integração obtemos:

L = 4 θ - 6 s e n   2 θ 3 | 0 π / 4 = 4 π 4 - 0 - 6 s e n   π 6 - s e n   0 = π - 6 1 2 - 0 = π - 3

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

π - 3

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