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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.7 - Ex. 45

Esboce as retas nos Exercícios 45-48 e encontre equações cartesianas para elas.

r cos ⁡ θ - π 4 = 2

Passo 1

Salve, fera! Tudo bem? Essa questão pode não ser tão simples. Vamos encará-la juntos?

Neste problema, nosso objetivo será usar as transformações de coordenadas polares para coordenadas cartesianas, para encontrar a equação cartesiana da equação polar dada. Para isso podemos fazer uso das seguintes relações:

x = r cos ⁡ θ     e     y = r sen ⁡ θ

Por fim, com auxílio de software, podemos traçar o esboço da reta cartesiana encontrada.

Simbora?

Passo 2

Veja que a equação dada, apresenta uma diferença entre dois arcos, portanto usaremos a seguinte identidade trigonométrica:

cos ⁡ x - y = cos ⁡ x ∙ cos ⁡ y + sen ⁡ x ∙ sen ⁡ y

Logo,

r cos ⁡ θ - π 4 = 2   ⟹ r cos ⁡ θ ∙ cos ⁡ π 4 + sen ⁡ θ ∙ sen ⁡ π 4 = 2  

Aplicando a distributiva, temos:

r cos ⁡ θ ∙ cos ⁡ π 4 + r sen ⁡ θ ∙ sen ⁡ π 4 = 2

Usando as relações citadas no passo 1 e determinando os valores conhecidos, temos:

x ∙ 2 2 + y ∙ 2 2 = 2

Multiplicando ambos os lados por 2 , têm-se:

x + y = 2

Encontramos nossa equação da reta, em coordenadas cartesianas.

Passo 3

Agora, traçando a cônica com auxílio de um software e destacando as informações pedidas, obtemos:

Espero ter ajudado! Abraços e até a próxima!

Resposta

x + y = 2 .

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