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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 11.Exercícios práticos - Ex. 16

Encontre os comprimentos das curvas nos Exercícios 13-19.

x = y 3 12 + 1 y ; 1 ≤ y ≤ 2

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de equações paramétricas e coordenadas polares.

Vamos agora resolver os exercícios práticos sobre comprimentos de curvas.

Podemos determinar o comprimento da curva pedida utilizando:

L = ∫ y 1 y 2 1 + d x d y 2 d y

Para isso, vamos derivar x em relação a y:

d x d y = 3 12 y 2 - 1 y - 2 = y 2 4 - 1 y 2

De modo que:

d x d y 2 = y 2 4 - 1 y 2 2 = y 4 16 - 1 2 + 1 y 4

Passo 2

Aplicando na equação do comprimento da curva, teremos que:

L = ∫ 1 2 1 + y 4 16 - 1 2 + 1 y 4 d y = ∫ 1 2 y 4 16 + 1 2 + 1 y 4 d y = ∫ 1 2 y 2 4 + 1 y 2 2 d y =

= ∫ 1 2 y 2 4 + 1 y 2 d y

Logo:

L = ∫ 1 2 y 2 4 d y + ∫ 1 2 1 y 2 d y = 1 4 ∙ y 3 3 + y - 1 - 1 | 1 2 = y 3 12 - 1 y | 1 2

Que nos dá:

L = 2 3 12 - 1 2 - 1 3 12 - 1 1 = 2 3 - 1 2 - 1 12 + 1 = 8 - 6 - 1 + 12 12 = 13 12   o u   1,08333 …

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

13/12 ou 1,08333...

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