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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.6 - Ex. 3

Seja vec F : [a , b] -> R^n contínua e seja vec G (t) = int_0^t vec F (s) d s , t in [a , b] . Prove que, para todo t in [a , b] ,

(d vec G)/(d t) (t) = vec F (t)

Passo 1

Vamos supor que

I (s) = int vec F (s) d s

Então é verdade que

(d I)/(d s) (s) = vec F (s)

Se s = t

(d I)/(d t) (t) = vec F (t)

Então temos

vec G (t) = int_0^t vec F (s) d s

Como definimos I como sendo a primitiva de vec F , então

vec G (t) = I (t) - I (0)

Derivando dos dois lados

(d vec G)/(d t) (t) = (d I)/(d t) (t)

(d vec G)/(d t) (t) = vec F (t)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Use a Fórmula 2 para deduzir a Fórmula 7 a partir da Fórmula 8.2.5, no Volume 1, para o caso no qual a curva pode ser representada na forma y = F x ,a ≤ x ≤ b .
Calcule.int_0^1 [t vec i + e^t vec j] d t
Calcule.int_1^2 [3 vec i + 2 vec j + vec k] d t
Sejam vec F (t) = t vec i + vec j + e^t vec k e vec G (t) = vec i + vec j + vec k . Calculeint_0^1 vec F (t) * vec G (t) d t
Calcule.int_(- 1)^1 [sen 3 t vec i + (1)/(1 + t^2) vec j + vec k] d t