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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.Exercícios práticos - Ex. 15

Encontre os comprimentos das curvas nos Exercícios 15 e 16.

r t = 2 cos ⁡ t i + 2   s e n   t j + t 2 k ;   0 ≤ t ≤ π 4

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de funções vetoriais e movimentos no espaço.

Vamos agora resolver os exercícios práticos sobre movimento no espaço.

A partir do enunciado, derivamos r:

d r d t = v = - 2 s e n   t i + 2 cos ⁡ t j + 2 t k

Daí, temos que:

v = - 2 s e n   t 2 + 2 cos ⁡ t 2 + 2 t 2 = 4 s e n 2   t + 4 cos 2 ⁡ t + 4 t 2 =

= 4 + 4 t 2 = 2 1 + t 2

Logo, o comprimento da curva é:

L = ∫ 0 π / 4 2 1 + t 2 d t

Integrando, teremos que:

L = t 1 + t 2 + ln ⁡ t + 1 + t 2 | 0 π / 4 = π 4 1 + π 2 16 + ln ⁡ π 4 + 1 + π 2 16

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

L = π 4 1 + π 2 16 + ln ⁡ π 4 + 1 + π 2 16

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