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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.Exercícios práticos - Ex. 6

Encontre o ponto na curva y = e x , em que a curvatura máxima é alcançada.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de funções vetoriais e movimentos no espaço.

Vamos agora resolver os exercícios práticos sobre movimento no plano.

A partir do enunciado derivamos y:

y ' = e x ;   y ' ' = e x

Sabendo que:

κ = y ' ' 1 + y ' 2 3 / 2

Teremos que:

κ = e x 1 + e x 2 3 / 2

Passo 2

Para encontrarmos a curvatura máxima fazemos:

d κ d x = 0

Derivando, temos:

e x 1 + e x 2 3 / 2 - e x ∙ 3 2 1 + e x 2 1 / 2 ∙ e 2 x ∙ 2 1 + e x 2 3 / 2 2 = 0

= > e x 1 + e 2 x 3 / 2 - 3 e 3 x 1 + e 2 x 1 / 2 = 0

= > 1 + e 2 x 1 / 2 e x 1 + e 2 x - 3 e 3 x = 0 = > e x 1 + e 2 x - 3 e 3 x = 0

= > e x 1 + e 2 x = 3 e 3 x = > 1 + e 2 x = 3 e 2 x = > 2 e 2 x = 1 = > e 2 x = 1 2

Aplicando logaritmo em ambos os lados:

2 x = ln ⁡ 1 2 = - ln ⁡ 2 = > x = - ln ⁡ 2 2 = - ln ⁡ 2 = > y = e - ln ⁡ 2 = 1 2

O ponto de máximo para a curvatura dada é:

- ln ⁡ 2 ,   1 2

E é isso pessoal. Espero que a resolução tenha sido proveitosa para todos. Até mais.

Resposta

- ln ⁡ 2 ,   1 2

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