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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.4 - Ex. 16

Encontre T , N   e   κ para as curvas espaciais nos Exercícios 9-16.

16. r t = cosh ⁡ t i - senh ⁡ t j + t k

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

O objetivo desta tarefa é determinar o vetor tangente unitário T , o vetor normal unitário N e a curvatura κ para a curva espacial

r t = cosh ⁡ t i - senh ⁡ t j + t k

O vetor tangente unitário encontramos de acordo com a definição, como uma derivada normalizada da curva dada:

T = v v = d r d t d r d t

e então, normalizando a derivada de N , obtemos o vetor normal unitário:

N = d T d t d T d t

Além disso, usando as normas das derivadas de r e T , encontramos a curvatura como:

κ = 1 v d T d t

Passo 2

Desde que o vetor é igual a

v = x ' t i + y ' t j + z ' t k

A norma é dada por

v = x ' t 2 + y ' t 2 + z ' t 2 = sinh ⁡ t + - cosh ⁡ t 2 + 1 = 2 cosh ⁡ t

Com isso, T é igual a

T = v v = tanh ⁡ t 2 i - 1 2 j + sech ⁡ t 2 k

Passo 3

Agora, de acordo com a Regra do Quociente de diferenciação, afirma que

d T d t = sech 2 ⁡ t 2 i - sech ⁡ t tanh ⁡ t 2 k

E portanto,

d T d t = sech 4 ⁡ t 2 + sech 2 ⁡ t tanh 2 ⁡ t 2 = sech 2 ⁡ t ( sech 2 ⁡ t + tanh 2 ⁡ t 2 = sech ⁡ t 2

o que significa que o vetor normal unitário é

N = sech ⁡ t i - tanh ⁡ t k

Substituindo v   e d T d t na definição da curvatura, obtemos que

κ = 1 v d T d t = 1 2 cosh ⁡ t ∙ sech ⁡ t 2 = sech 2 ⁡ t 2  

Resposta

T = tanh ⁡ t 2 i - 1 2 j + sech ⁡ t 2 k

N = sech ⁡ t i - tanh ⁡ t k

κ = sech 2 ⁡ t 2

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