Enconte um vetor ortogonal ao plano diferente de zero, através dos pontos P , Q e R . Encontre também a área do triângulo PQR .

P(2, -3,4)

Q(-1, -2,2)

R(3,1, -3)

Passo 1

Bom galera, gente tem os pontos:

P 2 , - 3,4

Q - 1 , - 2,2

R 3,1 , - 3

Vamos começar calculando vetores formados por esse ponto:

P Q = Q - P = - 1 , - 2,2 - 2 , - 3,4

P Q = - 3,1 , - 2

E o outro vetor:

P R = R - P = 3,1 , - 3 - 2 , - 3,4

P R = 1,4 , - 7

Passo 2

Beleza, pra encontrar um vetor ortogonal ao plano formado por aqueles pontos, basta a gente encontrar o produto vetorial, entre os dois vetores que encontramos:

P Q = - 3,1 , - 2

P R = 1,4 , - 7

Que pode ser calculado assim:

P Q × P R = det ⁡ i → j → k → - 3 1 - 2 1 4 - 7 = i → - 23 j → - 13 k →

Passo 3

Então, agora pra a gente calcular a área, por definição temos a formula:

A = 1 2 ( | D 1 | )

E D 1 é o determinante de uma matriz dos pontos, bem assim:

D 1 = det ⁡ x P y P z P x Q y Q z Q x R y R z R

Passo 4

Vamos montar a matriz e calcular o determinante:

D 1 = det ⁡ 2 - 3 4 - 1 - 2 2 3 1 - 3 = 19

Passo 5

E pra terminar, tá fácil agora, é só botar naquela fórmula lá:

A = 1 2 ⋅ 19

→ A = 1 2 ⋅ 19 = 9,5

Resposta

v = i → - 23 j → - 13 k →

A = 9,5

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados