Encontre a curvatura e o raio no ponto P dado. Trace um esboço da curva e o cículo de curvatura.

a) y = e^x

Passo 1

Bom galera, vamos começar encontrando a curvatura.

Para encontrarmos a curvatura de uma curva, uma vez que temos uma função cartesiana usamos a equação 1.13 , que é:

k x = d 2 y d x 2 1 + d y d x 2 3 2

Passo 2

Belezinha, na fórmula vamos precisar da primeira e da segunda derivada da função, que nesse caso são muito fácies, são a própria função e calculamos o valor dele para o ponto P = ( 0,1 ) :

f x = e x → f 0 = 1

f ' x = e x → f ' 0 = 1

f ' ' x = e x → f ' ' 0 = 1

Que a gente coloca na fórmula e calcula:

k 0 = 1 1 + 1 2 3 2

→ k 0 = 1 2 3 2 = 1 2 2 = 2 4

Passo 3

Show de bolinhas, agora que já temos a curvatura o raio da curvatura tá fácil demais, é só pegar o inverso da curvatura, bem assim:

R = 1 k

→ R = 1 2 4 = 1 ⋅ 4 2 = 2 2

Resposta

k 0 = 2 4

R = 2 2

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