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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.4 - Ex. 24

A fórmula

κ x = f ' ' ( x ) 1 + f ' x 2 3 / 2

deduzida do Exercício 5, expressa a curvatura κ ( x ) de uma curva plana duas vezes diferenciável y = f ( x ) como uma função de x . Encontre a função de curvatura de cada uma das curvas nos Exercícios 23-26. Em seguida, desenhe f ( x ) com κ ( x ) sobre o intervalo dado. Você encontrará algumas surpresas.

24. y = x 4 4 ,   - 2 ≤ x ≤ 2

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

No problema dado, temos que

f x = x 4 4

Diferenciando os termos,

f ' x = x 3

Ok, vamos usar a derivada novamente

f ' ' x = 3 x 2

Passo 2

Substituindo as expressões para f ' ( x ) e f ' ' ( x ) na fórmula

κ x = f ' ' ( x ) 1 + f ' x 2 3 / 2

Trocando os termos já conhecidos

κ x = 3 x 2 1 + x 3 2 3 2 = 3 x 2 1 + x 6 3 2

No gráfico temos a seguinte configuração

Resposta

κ x = 3 x 2 1 + x 6 3 2

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que a curvatura de uma curva plana descrita por σ t = x t , y t é k t = x ' t y ' ' t - y ' t x ' ' ( t ) x ' t 2 + y ' t 2 3 2 Observe que esta equação se reduz à equação (1.13) quando a curva
Seja y = f ( x ) a equação de uma curva C que tem inclinação igual a 1 em x = 0 . Se f ' ' x = x 2 + 2 e x + e - x 2 , determine a curvatura de C quando x = 0 .
Encontre a curvatura e o raio no ponto P dado. Trace um esboço da curva e o cículo de curvatura. a ) y = e x
Encontre a curvatura e o raio de curvatura no ponto P dado. Trace um esboço da curva e o círculo de curvatura. cy = cos ⁡ x ; P = π 3 , 1 2
A fórmula κ x = f ' ' ( x ) 1 + f ' x 2 3 / 2 deduzida do Exercício 5, expressa a curvatura κ ( x ) de uma curva plana duas vezes diferenciável y = f ( x ) como uma função de x . Encontre a função de