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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.1 - Ex. 7

Encontre (d y)/(d x) por derivação implícita:

(1)/(sqrt(x)) + (1)/(sqrt(y)) = 1

Passo 1

Para começarmos, vamos derivar implicitamente por x ambos os lados da nossa igualdade:

(d)/(d x) [(1)/(sqrt(x)) + (1)/(sqrt(y))] = (d)/(d x) [ 1 ]

Podemos abrir a soma e constantes para fora:

(d)/(d x) [(1)/(sqrt(x))] + (d)/(d x) [(1)/(sqrt(y))] = 0

Podemos reescrever:

(d)/(d x) [x^(- (1)/(2))] + (d)/(d x) [y^(- (1)/(2))] = 0

- (1)/(2) x^(- (3)/(2)) + (d)/(d x) [y^(- (1)/(2))] = 0

(d)/(d x) [y^(- (1)/(2))] = (1)/(2) x^(- (3)/(2))

Passo 2

Pela regra da cadeia:

(d [y^(- (1)/(2))])/(d y) * (d y)/(d x) = (1)/(2) x^(- (3)/(2))

- (1)/(2) y^(- (3)/(2)) * (d y)/(d x) = (1)/(2) x^(- (3)/(2))

(d y)/(d x) = ((1)/(2) x^(- (3)/(2)))/(- (1)/(2) y^(- (3)/(2)))

(d y)/(d x) = - (x^(- (3)/(2)))/(y^(- (3)/(2)))

Ou ,

(d y)/(d x) = - (y^((3)/(2)))/(x^((3)/(2)))

Resposta

(d y)/(d x) = - (y^((3)/(2)))/(x^((3)/(2)))

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