Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 21
Se e , ache .
Passo 1
Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada de no ponto , sabendo que
E
Observe que é dada implicitamente como função de e que temos o valor de em um ponto.
Então, o que nós vamos fazer é derivar a equação implicitamente e substituir na derivada.
Mas o que é a derivada implícita???
Bom... trata-se de um método utilizado para encontrar a taxa de variação de uma variável em relação a outra quando a equação que relaciona essas variáveis não está explicitamente expressa em termos de uma delas.
Em outras palavras, para encontrar de uma expressão, basta diferenciar ambos os lados da equação em relação a .
No entanto, como a equação não está explicitamente resolvida para , você tratará como uma função implícita de e usará a regra da cadeia para encontrar a derivada.
Lembrando que a regra da cadeia é dada por:
Agora bora lá aplicar!! 😉
Passo 2
Vamos começar aplicando a derivada dos dois lados da equação:
Assim, derivando implicitamente em relação a , temos:
Repare que aplicamos a regra do produto junto com a regra da cadeia na derivação do termo .
E que a derivada do lado direito é zero, porque estamos derivando uma constante.
Beleza, agora vamos colocar em evidência:
Passo 3
Então, substituindo , temos:
Agora usando , vamos ter:
E isolando :
Valeu, galera! Até a próxima! 😉