Se f(x) + x^2 [f(x)]^3 = 10 e f(1) = 2 , ache f'(1) .

Passo 1

Fala, galera! Beleza? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente encontrar a derivada de f no ponto x = 1 , sabendo que

f x + x 2   f x 3 = 10

E

f 1 = 2

Observe que f ( x ) é dada implicitamente como função de x e que temos o valor de f em um ponto.

Então, o que nós vamos fazer é derivar a equação implicitamente e substituir x = 1 na derivada.

Mas o que é a derivada implícita???

Bom... trata-se de um método utilizado para encontrar a taxa de variação de uma variável em relação a outra quando a equação que relaciona essas variáveis não está explicitamente expressa em termos de uma delas.

Em outras palavras, para encontrar d y d x de uma expressão, basta diferenciar ambos os lados da equação em relação a x .

No entanto, como a equação não está explicitamente resolvida para y , você tratará y como uma função implícita de x e usará a regra da cadeia para encontrar a derivada.

Lembrando que a regra da cadeia é dada por:

d y d x = d y d u * d u d x

Agora bora lá aplicar!! 😉

Passo 2

Vamos começar aplicando a derivada dos dois lados da equação:

d d x { f x + x 2   f x 3 } = d d x ( 10 )

Assim, derivando implicitamente em relação a x , temos:

f ' x + 2 x ⋅ f x 3 + x 2 ⋅ 3 f x 2 ⋅ f ´ x = 0

Repare que aplicamos a regra do produto junto com a regra da cadeia na derivação do termo x 2   f x 3 .

E que a derivada do lado direito é zero, porque estamos derivando uma constante.

Beleza, agora vamos colocar f ' ( x ) em evidência:

f ' x   1 + 3 x 2 f x 2 + 2 x f x 3 = 0

Passo 3

Então, substituindo x = 1 , temos:

f ' 1   1 + 3 ⋅ ( 1 ) 2 ⋅ f 1 2 + 2 ⋅ ( 1 ) ⋅ f 1 3 = 0

Agora usando f 1 = 2 , vamos ter:

f ' 1   1 + 3 ⋅ ( 2 ) 2 + 2 ⋅ ( 2 ) 3 = 0

13 f ' 1 + 16 = 0

E isolando f ' ( 1 ) :

f ' 1 = - 16 13

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

f ' 1 = - 16 13

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