Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 5.5 - Ex. 37
Encontre por derivação implícita.
Passo 1
Eaeee, belezinha?? Bom... o enunciado nos dá a seguinte expressão:
Nessa questão estamos interessados em encontrar a derivada de segunda ordem de utilizando derivação implícita.
Tá... já sabemos que precisaremos derivar duas vezes... mas o que é essa derivação implícita??
Bom... seja uma equação implícita geral de duas variáveis, , onde é uma função de .
Para encontrarmos a derivada dessa expressão, precisamos derivar os dois lados da equação e, em seguida, devemos aplicar a regra da cadeia:
Com isso é só a gente isolar o que descobriremos a derivada da nossa função!! Entendeu?
Agora bora lá aplicar!! 😉
Mas antes, vamos precisar da regra da potência para derivar a nossa função.
A regra da potência diz que se uma função é da forma , então, sua derivada é .
Passo 2
Primeiramente, iremos derivar os dois lados da equação em relação a :
Veja que ao diferenciar , multiplicamos pela sua derivada . Isso ocorre devido a regra da cadeia.
Vamos agora isolar :
Passo 3
Agora, iremos derivar novamente os dois lados da equação em relação a , utilizando a regra do quociente:
Como , iremos substituir na equação e colocar em evidência:
Nosso enunciado nos diz que:
Então, substituindo em :
Entendeu direitinho?? Responde aee 😉