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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.5 - Ex. 38

Encontre y ' ' por derivação implícita.

x 4 + y 4 = a 4

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a equação

x 4 + y 4 = a 4

E nosso objetivo é calcular a segunda derivada de y por derivação implícita.

Tem ideia de como fazemos isso?

O método de derivação implícita consiste em derivar os dois lados da equação e como y é uma função de x , aplicamos a regra da cadeia.

Um macete para esse método é que na hora de derivar um termo y , derivamos normalmente em relação a y e acrescentamos um termo y ' no resultado da derivada.

Veja só!

Passo 2

Primeiramente, iremos derivar os dois lados da equação em relação a x

x 4 + y 4 = a 4

d x 4 + y 4 d x = d a 4 d x

d x 4 d x + d y 4 d x = d a 4 d x

Aplicando o macete que vimos no passo 1 para a derivada de y 4 , temos

d y 4 d x = d y 4 d y · y '

Ou seja...

d x 4 d x + d y 4 d y y ' = d a 4 d x

Como a é uma constante, derivando pela regra da potência...

4 x 3 + 4 y 3 y ' = 0

Vamos agora isolar y '

4 y 3 y ' = - 4 x 3

y ' = - 4 x 3 4 y 3

y ' = - x 3 y 3

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Perceba que encontramos uma fração de funções de x ...

Assim, para calcular a segunda derivada vamos aplicar a regra do quociente

f = g h ,     f ' = g ' · h - g · h h 2

Temos que g = - x 3 e h = y 3 , logo

y ' ' = d - x 3 d x · y 3 - - x 3 · d y 3 d x y 3 2

Aplicando o macetinho na derivada de y 3 , temos

y ' ' = d - x 3 d x · y 3 - - x 3 · d y 3 d y · y ' y 3 2

Calculando as derivadas...

y ' ' = - 3 x 2 y 3 + 3 x 3 y 2 y ' y 6

y ' ' = - 3 x 2 y 2 y + x y ' y 6

Não queremos deixar o resultado em função de y ' , então substituindo pelo resultado que encontramos no passo 2, temos

y ' = - x 3 y 3 → y ' ' = - 3 x 2 y 2 y + x - x 3 y 3 y 6

y ' ' = - 3 x 2 y + x 1 x 3 y 3 y 4

y ' ' = - 3 x 2 y + x 4 y 3 y 4

Simplificando um pouco mais o resultado, podemos deixar o numerador sem fração

y ' ' = - 3 x 2 y y 3 y 3 + x 4 y 3 y 4

y ' ' = - 3 x 2 y 4 y 3 + x 4 y 3 y 4

y ' ' = - 3 x 2 x 4 + y 4 y 3 y 4

Como x 4 + y 4 = a 4 então

y ' ' = - 3 x 2 a 4 y 3 y 4

y ' ' = - 3 x 2 a 4 y 7

E fim! O que achou? Responde Aí!

Resposta

y ' ' = - 3 x 2 a 4 y 7

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Use a derivação implícita para determinar d y // d x em x + t g ( x y ) = 0