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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 2.5 - Ex. 13

Encontre f^' ( x ) : f (x) = (c o t g (x))/(1 + c o s s e c (x))

Passo 1

Bom, bora lá.

Podemos ver que temos uma divisão na nossa função, para resolver essa derivada, vamos ter que usar a regra do quociente.

Vamos lembrar que regra é essa?

(d)/(d x) ((f (x))/(g ( x ))) = (f^' (x) g (x) - f (x) g^' (x))/((g (x))^2)

Nesse caso, nossa f (x) = c o t g (x) e g (x) = 1 + c o s s e c (x) .

Mas antes de jogar logo na nossa regrinha, vamos relembrar as derivadas:

(d)/(d x) (c o t g (x)) = - c o s s e c^2 ( x )

(d)/(d x) (c o s s e c (x)) = - c o t g (x) * c o s s e c (x)

Essas derivadas podem ser resolvidas através daquele limite grandão, mas são muito grandes e gastam tempo. Por isso as derivadas trigonométricas são tabeladas, como essas duas ai em cima.

Passo 2

Agora sim, vamos aplicar nossa regra do quociente :

((c o t g (x))^' * (1 + c o s s e c (x)) - (c o t g (x)) * (1 + c o s s e c (x))^')/((1 + c o s s e c (x))^2)

Resolvendo essas derivadas:

(( - c o s s e c^2 ( x ) ) * (1 + c o s s e c (x)) - (c o t g (x)) * ( - c o t g (x) * c o s s e c (x) ))/((1 + c o s s e c (x))^2)

((- c o s s e c^2 (x)) * (1 + c o s s e c (x)) + c o t g (x)^2 * c o s s e c (x) ))/((1 + c o s s e c (x))^2)

Passo 3

Para simplificar, vamos ver em termos de sen (x) e c o s ( x ) , que estamos mais acostumados, lembrando que :

cot g (x) = (cos (x))/(s e n (x))

c o s s e c (x) = (1)/(sen (x))

Substiuindo:

((- (1)/(sen (x)))^2 * (1 + (1)/(sen (x))) + ((cos (x))/(s e n (x)))^2 * ((1)/(sen (x))))/((1 + (1)/(sen (x)))^2)

Colocando o - (1)/(sen (x)) em evidência:

((- (1)/(sen (x))) * ((1 + (1)/(sen (x))) * ((1)/(sen (x))) - ((cos (x))/(s e n (x)))^2))/((1 + (1)/(sen (x)))^2)

((- (1)/(sen (x))) * (((1)/(sen (x)) + (1)/(sen^2 (x))) - (cos^2 (x))/(sen^2 ( x ))))/((1 + (1)/(sen (x)))^2)

((- (1)/(sen (x))) * ((1)/(sen (x)) + (1 - cos^2 ( x ))/(sen^2 (x))))/((1 + (1)/(sen (x)))^2)

((- (1)/(sen (x))) * ((1)/(sen (x)) + 1))/((1 + (1)/(sen (x)))^2)

Lembrando que :

(1 + (1)/(sen (x)))^2 = ((1)/(sen (x)) + 1) * ((1)/(sen (x)) + 1)

Fazemos:

((- (1)/(sen (x))) * ((1)/(sen (x)) + 1))/(((1)/(sen (x)) + 1) * ((1)/(sen (x)) + 1)) = ((- (1)/(sen (x))))/(((1)/(sen (x)) + 1))

Volltando em termos de cossecante:

f^' (x) = - (c o s s e c (x))/(1 + c o s s e c (x))

Resposta

f^' (x) = - (c o s s e c (x))/(1 + c o s s e c (x))

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