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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.1 - Ex. 8

Encontre (d y)/(d x) por derivação implícita.

x^2 = (x + y)/(x - y)

Passo 1

Primeiro vamos manipular um pouco a expressão para ficar mais simples de derivar:

x^2 = (x + y)/(x - y)

x^2 (x - y) = x + y

x^3 - x^2 y = x + y

Pronto, agora para usar derivação implícita nós temos que derivar ambos os lados, tratando y como uma função diferenciável de x , vamos lá:

(d)/(d x) (x^3 - x^2 y) = (d)/(d x) (x + y)

3 x^(3 - 1) - (2 x^(2 - 1) y + x^2 * (d y)/(d x)) = 1 + (d y)/(d x)

3 x^2 - (2 x y + x^2 * (d y)/(d x)) = 1 + (d y)/(d x)

3 x^2 - 2 x y - x^2 * (d y)/(d x) = 1 + (d y)/(d x)

Passo 2

Agora vamos reorganizar, vamos deixar o (d y)/(d x) no lado esquerdo, e passar todo o resto pro lado direito:

x^2 * (d y)/(d x) + (d y)/(d x) = - 1 + 3 x^2 - 2 x y

(d y)/(d x) (x^2 + 1) = - 1 + 3 x^2 - 2 x y

(d y)/(d x) = (- 1 + 3 x^2 - 2 x y)/(x^2 + 1)

Pronto, encontramos (d y)/(d x) por derivação implícita!!

Resposta

(d y)/(d x) = (- 1 + 3 x^2 - 2 x y)/(x^2 + 1)

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