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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.1 - Ex. 12

Encontre (d y)/(d x) por derivação implícita.

(x y^3)/(1 + sec y) = 1 + y^4

Passo 1

Primeiro vamos manipular um pouco a expressão para ficar mais simples de derivar:

(x y^3)/(1 + sec y) = 1 + y^4

x y^3 = (1 + sec y) (1 + y^4)

Pronto, agora para usar derivação implícita nós temos que derivar ambos os lados, tratando y como uma função diferenciável de x , vamos lá:

(d)/(d x) (x y^3) = (d)/(d x) ((1 + sec y) (1 + y^4))

1 * y^3 + x * 3 y^(3 - 1) * (d y)/(d x) = (0 + sec y tg y (d y)/(d x)) (1 + y^4) + (1 + sec y) (0 + 4 y^(4 - 1) (d y)/(d x))

y^3 + 3 x y^2 (d y)/(d x) = sec y tg y (d y)/(d x) (1 + y^4) + 4 y^3 (d y)/(d x) (1 + sec y)

Passo 2

Agora vamos reorganizar, vamos deixar o (d y)/(d x) no lado esquerdo, e passar todo o resto pro lado direito:

y^3 + 3 x y^2 (d y)/(d x) = sec y tg y (d y)/(d x) (1 + y^4) + 4 y^3 (d y)/(d x) (1 + sec y)

3 x y^2 (d y)/(d x) - sec y tg y (d y)/(d x) (1 + y^4) - 4 y^3 (d y)/(d x) (1 + sec y) = - y^3

(d y)/(d x) (3 x y^2 - sec y tg y (1 + y^4) - 4 y^3 (1 + sec y)) = - y^3

(d y)/(d x) = - (y^3)/(3 x y^2 - sec y tg y (1 + y^4) - 4 y^3 (1 + sec y))

Pronto, encontramos (d y)/(d x) por derivação implícita!!

Resposta

(d y)/(d x) = - (y^3)/(3 x y^2 - sec y tg y (1 + y^4) - 4 y^3 (1 + sec y))

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