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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.1 - Ex. 13

Encontre (d^2 y)/(d x^2) por derivação implícita.

2 x^2 - 3 y^2 = 4

Passo 1

Primeiro vamos usar derivação implícita, nós temos que derivar ambos os lados, tratando y como uma função diferenciável de x , vamos lá:

(d)/(d x) (2 x^2 - 3 y^2) = (d)/(d x) (4)

2 * 2 * x^(2 - 1) - 3 * 2 * y^(2 - 1) (d y)/(d x) = 0

4 x - 6 y (d y)/(d x) = 0

Passo 2

Agora vamos reorganizar, vamos deixar o (d y)/(d x) no lado esquerdo, e passar todo o resto pro lado direito:

4 x - 6 y (d y)/(d x) = 0

6 y (d y)/(d x) = 4 x

(d y)/(d x) = (4 x)/(6 y)

Passo 3

Agora vamos derivar novamente para termos (d^2 y)/(d x^2) , da mesma forma que no passo 1 :

(d)/(d x) ((d y)/(d x)) = (d)/(d x) ((4 x)/(6 y))

(d^2 y)/(d x^2) = (4 * 6 y - 4 x * 6 (d y)/(d x))/((6 y)^2)

(d^2 y)/(d x^2) = (24 y - 24 x (d y)/(d x))/(36 y^2)

Acabamos ficando com (d y)/(d x) na resolução, vamos então substituir (d y)/(d x) = (4 x)/(6 y) :

(d^2 y)/(d x^2) = (24 y - 24 x (d y)/(d x))/(36 y^2)

(d^2 y)/(d x^2) = (24 y - 24 x * (4 x)/(6 y))/(36 y^2)

(d^2 y)/(d x^2) = (24 y - (96 x^2)/(6 y))/(36 y^2)

(d^2 y)/(d x^2) = ((144 y^2 - 96 x^2)/(6 y))/(36 y^2)

(d^2 y)/(d x^2) = (144 y^2 - 96 x^2)/(6 y) * (1)/(36 y^2)

(d^2 y)/(d x^2) = (24 y^2 - 16 x^2)/(36 y^3)

(d^2 y)/(d x^2) = (6 y^2 - 4 x^2)/(9 y^3)

(d^2 y)/(d x^2) = (- 2 (- 3 y^2 + 2 x^2))/(9 y^3)

Passo 4

E agora vamos lembrar a expressão inicial 2 x^2 - 3 y^2 = 4 , ela aparece no nosso resultado, vamos substituir o seu valor nele:

(d^2 y)/(d x^2) = (- 2 (- 3 y^2 + 2 x^2))/(9 y^3)

(d^2 y)/(d x^2) = (- 2 * 4)/(9 y^3)

(d^2 y)/(d x^2) = (- 8)/(9 y^3)

Pronto, encontramos (d^2 y)/(d x^2) por derivação implícita!!

Resposta

(d^2 y)/(d x^2) = (- 8)/(9 y^3)

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