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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.1 - Ex. 15

Encontre (d^2 y)/(d x^2) por derivação implícita.

x^3 y^3 - 4 = 0

Passo 1

Primeiro vamos usar derivação implícita, nós temos que derivar ambos os lados, tratando y como uma função diferenciável de x , vamos lá:

(d)/(d x) (x^3 y^3 - 4) = (d)/(d x) (0)

3 * x^(3 - 1) y^3 + x^3 * 3 * y^(3 - 1) (d y)/(d x) = 0

3 x^2 y^3 + 3 x^3 y^2 (d y)/(d x) = 0

Passo 2

Agora vamos reorganizar, vamos deixar o (d y)/(d x) no lado esquerdo, e passar todo o resto pro lado direito:

3 x^2 y^3 + 3 x^3 y^2 (d y)/(d x) = 0

3 x^3 y^2 (d y)/(d x) = - 3 x^2 y^3

(d y)/(d x) = - (3 x^2 y^3)/(3 x^3 y^2)

(d y)/(d x) = - (y)/(x)

Passo 3

Agora vamos derivar novamente para termos (d^2 y)/(d x^2) , da mesma forma que no passo 1 :

(d)/(d x) ((d y)/(d x)) = (d)/(d x) (- (y)/(x))

(d^2 y)/(d x^2) = (- (1 * (d y)/(d x) * x - y * 1))/(x^2)

(d^2 y)/(d x^2) = (- x (d y)/(d x) + y)/(x^2)

Acabamos ficando com (d y)/(d x) na resolução, vamos então substituir (d y)/(d x) = - (y)/(x) :

(d^2 y)/(d x^2) = (- x (d y)/(d x) + y)/(x^2)

(d^2 y)/(d x^2) = (- x (- (y)/(x)) + y)/(x^2)

(d^2 y)/(d x^2) = (y + y)/(x^2)

(d^2 y)/(d x^2) = (2 y)/(x^2)

Pronto, encontramos (d^2 y)/(d x^2) por derivação implícita!!

Resposta

(d^2 y)/(d x^2) = (2 y)/(x^2)

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