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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.7 - Ex. 28

28. Se x y + y^2 = 1 , determine o valor de d^2 y // d x^2 no ponto (0 , - 1)

Passo 1

Vamos achar a primeira derivada:

(d)/(d x) ( x y + y^2 ) = (d)/(d x) ( 1 )

(y + x (d y)/(d x)) + (2 y (d y)/(d x)) = 0

(d y)/(d x) (x + 2 y) = - y

(d y)/(d x) = (- y)/(x + 2 y)

Passo 2

Agora vamos derivar pela segunda vez:

(d^2 y)/(d x^2) = (d)/(d x) ((- y)/(x + 2 y))

(d^2 y)/(d x^2) = ((- (d y)/(d x)) (x + 2 y) - (1 + 2 (d y)/(d x)) (- y))/((x + 2 y)^2)

Agora onde temos d y // d x podemos substituir pelo valor achado no Passo 1:

(d^2 y)/(d x^2) = (- ((- y)/(x + 2 y)) (x + 2 y) - (1 + 2 ((- y)/(x + 2 y))) (- y))/((x + 2 y)^2)

(d^2 y)/(d x^2) = (y + y (((x + 2 y) - 2 y)/(x + 2 y)))/((x + 2 y)^2)

(d^2 y)/(d x^2) = (y + (x y)/(x + 2 y))/((x + 2 y)^2)

(d^2 y)/(d x^2) = ((y (x + 2 y) + x y)/(x + 2 y))/((x + 2 y)^2)

(d^2 y)/(d x^2) = (y (x + 2 y) + x y)/((x + 2 y)^3)

Para o ponto (0 , - 1) :

(d^2 y)/(d x^2) = (- 1 (0 + 2 (- 1)) + 0 (- 1))/((0 + 2 ( - 1 ))^3)

(d^2 y)/(d x^2) = (2 + 0)/((- 2)^3)

(d^2 y)/(d x^2) = (- 1)/(4)

Resposta

(d^2 y)/(d x^2) = (- 1)/(4)

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Determine d y // d x da seguinte expressão x^3 + y^3 = 1
Ao derivar x^2 - y^2 = 1^() implicitamente, mostre que (d y)/(d x) = (x)/(y) .
Determine d y // d x da seguinte expressão y^2 = 1 - (2)/(x)
Ao derivar x^2 - y^2 = 1^() implicitamente, mostre que (d^2 y)/(d^2 x) = - (1)/(y^3^()) .
Encontre d y / d x por derivação implícita. tg ⁡ ( x - y ) = y 1 + x 2