28. Se xy + y^2 = 1 , determine o valor de d^2y/dx^2 no ponto (0, -1)

Passo 1

Vamos achar a primeira derivada:

d d x ( x y + y 2 ) = d d x ( 1 )

y + x d y d x + 2 y d y d x = 0

d y d x x + 2 y = - y

d y d x = - y x + 2 y

Passo 2

Agora vamos derivar pela segunda vez:

d 2 y d x 2 = d d x - y x + 2 y

d 2 y d x 2 = - d y d x x + 2 y - 1 + 2 d y d x - y x + 2 y 2

Agora onde temos d y / d x podemos substituir pelo valor achado no Passo 1:

d 2 y d x 2 = - - y x + 2 y x + 2 y - 1 + 2 - y x + 2 y - y x + 2 y 2

d 2 y d x 2 = y + y x + 2 y - 2 y x + 2 y x + 2 y 2

d 2 y d x 2 = y + x y x + 2 y x + 2 y 2

d 2 y d x 2 = y x + 2 y + x y x + 2 y x + 2 y 2

d 2 y d x 2 = y x + 2 y + x y x + 2 y 3

Para o ponto 0 , - 1 :

d 2 y d x 2 = - 1 0 + 2 - 1 + 0 - 1 0 + 2 ( - 1 ) 3

d 2 y d x 2 = 2 + 0 - 2 3

d 2 y d x 2 = - 1 4

Resposta

d 2 y d x 2 = - 1 4

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