Encontre a 50ª derivada de y = cos(2x) .

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... Devemos encontrar a 50ª derivada da função y = cos ⁡ 2 x .

Eu sei o que você deve estar pensando: Como assim? Vou ter que derivar 50 vezes? A resposta é NÃO!!!

Vamos derivar algumas vezes para tentar achar uma recorrência ou padrão e daí prever a 50ª derivada, belezinha??

Bora lá! 😉

Passo 2

Vamos achar a primeira derivada (mudarei a notação para y ( 1 ) para facilitar as coisas):

y ( 1 ) = - 2   s e n   2 x

Derivando novamente:

y ( 2 ) = - 4   c o s   2 x

E assim por diante...

y ( 3 ) = 8   s e n   2 x

y 4 = 16 cos ⁡ 2 x

y ( 5 ) = - 32   s e n   2 x

y ( 6 ) = - 64 cos ⁡ 2 x

Passo 3

Observe que há um padrão devido as funções trigonométricas: a cada 4 derivadas voltamos a derivada original.

Dividindo 50 por   4 , obtemos quociente 12 e resto 2 .

Assim, para a 50ª derivada esperamos algo parecido com a segunda derivada, ou seja, algo do tipo - cos ⁡ 2 x .

Agora vamos tentar descobrir o fator multiplicativo: na primeira derivada temos 2 = 2 1 , na segunda temos 4 = 2 2 , na terceira temos 8 = 2 3 , e assim por diante....

De fato, devido a regra da cadeia, cada vez que derivamos acrescentamos um fator 2 , de modo que 50ª derivada deverá ter um fator 2 50 .

Assim, temos que

y ( 50 ) = - 2 50 cos ⁡ 2 x

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

y ( 50 ) = - 2 50 cos ⁡ 2 x

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