Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.4 - Ex. 77
Encontre a 50ª derivada de .
Passo 1
Eaee, belezinha??? Bom... Devemos encontrar a 50ª derivada da função .
Eu sei o que você deve estar pensando: Como assim? Vou ter que derivar 50 vezes? A resposta é NÃO!!!
Vamos derivar algumas vezes para tentar achar uma recorrência ou padrão e daí prever a 50ª derivada, belezinha??
Bora lá! 😉
Passo 2
Vamos achar a primeira derivada (mudarei a notação para para facilitar as coisas):
Derivando novamente:
E assim por diante...
Passo 3
Observe que há um padrão devido as funções trigonométricas: a cada 4 derivadas voltamos a derivada original.
Dividindo por, obtemos quociente e resto .
Assim, para a 50ª derivada esperamos algo parecido com a segunda derivada, ou seja, algo do tipo .
Agora vamos tentar descobrir o fator multiplicativo: na primeira derivada temos , na segunda temos , na terceira temos , e assim por diante....
De fato, devido a regra da cadeia, cada vez que derivamos acrescentamos um fator , de modo que 50ª derivada deverá ter um fator .
Assim, temos que
Entendeu direitinho?? Responde aee 😉