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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.4 - Ex. 77

Encontre a 50ª derivada de y = cos 2 x .

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... Devemos encontrar a 50ª derivada da função y = cos 2 x .

Eu sei o que você deve estar pensando: Como assim? Vou ter que derivar 50 vezes? A resposta é NÃO!!!

Vamos derivar algumas vezes para tentar achar uma recorrência ou padrão e daí prever a 50ª derivada, belezinha??

Bora lá! 😉

Passo 2

Vamos achar a primeira derivada (mudarei a notação para y^(( 1 )) para facilitar as coisas):

y^(( 1 )) = - 2 s e n 2 x

Derivando novamente:

y^(( 2 )) = - 4 c o s 2 x

E assim por diante...

y^(( 3 )) = 8 s e n 2 x

y^((4)) = 16 cos 2 x

y^(( 5 )) = - 32 s e n 2 x

y^(( 6 )) = - 64 cos 2 x

Passo 3

Observe que há um padrão devido as funções trigonométricas: a cada 4 derivadas voltamos a derivada original.

Dividindo 50 por 4 , obtemos quociente 12 e resto 2 .

Assim, para a 50ª derivada esperamos algo parecido com a segunda derivada, ou seja, algo do tipo - cos 2 x .

Agora vamos tentar descobrir o fator multiplicativo: na primeira derivada temos 2 = 2^1 , na segunda temos 4 = 2^2 , na terceira temos 8 = 2^3 , e assim por diante....

De fato, devido a regra da cadeia, cada vez que derivamos acrescentamos um fator 2 , de modo que 50ª derivada deverá ter um fator 2^(50) .

Assim, temos que

y^(( 50 )) = - 2^(50) cos 2 x

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

y^(( 50 )) = - 2^(50) cos 2 x

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