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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.6 - Ex. 29

Determine as derivadas das funções

y = x^2 * s e n^4 ( x ) + x cos^(- 2) (x)

Passo 1

Este é um exercício de derivada em que devemos aplicar a regra da cadeia! Portanto, precisamos pegar a nossa h ( r ) dada e, a partir dela, obter funções f ( u ) e g ( r ) tais que:

h (r) = (f @ g) (r) = f (g (r))

Desta forma, precisamos visualizar a nossa função h como uma função composta! Somente a partir disto, poderemos determinar corretamente quem é d y // d r , pois, como esta é uma função composta, ao derivarmos ela, conforme a regra da cadeia, teremos a seguinte relação:

(d y)/(d r) = h^' (r) = f^' (g (r)) * g ' ( r )

Portanto, somente após descobrirmos quem é f ( u ) e g ( r ) poderemos derivar estas funções e aplicar corretamente a regra da cadeia.

O procedimento para a obtenção das funções f e g é tentar transformar o termo “mais interno” da nossa h em u = g ( r ) . Ao fazermos esta substituição, obteremos então a função f ( u ) . Complicado isto? Não se assuste, vamos para a questão que verá que é bastante fácil!

Passo 2

Vamos derivar a nossa função. Aplicando a regra do produto, temos:

y^' = [ x^2 * s e n^4 ( x ) + x cos^(- 2) (x) ] '

y^' = 2 x * s e n^4 (x) + x^2 * [s e n^4 (x)]^' + cos^(- 2) x + x * [ cos^(- 2) x ] '

Passo 3

Temos que descobrir quais as derivadas das funções s e n^4 (x) e cos^(- 2) x . Aplicando a regra da cadeia para a função s e n^4 (x) , obtemos:

[s e n^4 (x)]^' = 4 * s e n^3 (x) * [ s e n ( x ) ] '

[s e n^4 (x)]^' = 4 * s e n^3 (x) * c o s ( x )

Já para a função cos^(- 2) x , temos:

[cos^(- 2) x]^' = - 2 * cos^(- 3) x * [ cos x ] '

[cos^(- 2) x]^' = - 2 * cos^(- 3) x * - s e n ( x )

[cos^(- 2) x]^' = 2 * cos^(- 3) x * s e n ( x )

Passo 4

Substituindo as derivadas do Passo anterior na equação do Passo 2, temos:

y^' = 2 x * s e n^4 (x) + x^2 * ( 4 * s e n^3 (x) * c o s ( x ) ) + cos^(- 2) x + x * (2 * cos^(- 3) x * s e n (x))

y^' = 4 x^2 s e n^3 (x) cos (x) + 2 x s e n^4 (x) + 2 x c o s^(- 3) (x) s e n (x) + cos^(- 2) x

Resposta

y^' = 4 x^2 s e n^3 (x) cos (x) + 2 x s e n^4 (x) + 2 x c o s^(- 3) (x) s e n (x) + cos^(- 2) x

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Use o resultado do Exercício 52 (a) para provar que se g for uma função par e g ' ( x ) existir, então se h x = ( f ∘ g ) ( x ) e se f for derivável em toda parte, h ' 0 = 0 .
Mostre que a prova simplificada da regra da cadeia com a exigência adicional (ii) (exercício 54) não é válida para as funções f e g dadas. Em cada exercício, faça um esboço do gráfico de g . f x = x 2
Mostre que a prova simplificada da regra da cadeia com a exigência adicional (ii) (exercício 54) não é válida para as funções f e g dadas. Em cada exercício, faça um esboço do gráfico de g . f x = x 2
Mostre que a prova simplificada da regra da cadeia com a exigência adicional (ii) (exercício 54) não é válida para as funções f e g dadas. Em cada exercício, faça um esboço do gráfico de g . f x = x 4
Dadas f u = u 2 + 5 u + 5 e g x = ( x + 1 ) / ( x - 1 ) , ache a derivada de f ∘ g de duas maneiras: (a) encontrando primeiro ( f ∘ g ) ( x ) e então calculando ( f ∘ g ) ' ( x ) ; (b) usando a regra