Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.4 - Ex. 27
Encontre a derivada da função.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão é bem direta ao ponto. Ela dá pra gente a função:
E pede pra gente encontrar a sua derivada.
A ideai para resolver questões dessas é analisar qual o tipo de função nós temos, e assim saber quais as regras de derivação devemos usar. Então faremos isso aqui. Ok?
Observe que essa função é formada por uma divisão entre duas outras funções. Podemos pensar nela como sendo:
Onde
E
Para derivar funções desse tipo, podemos usar a regra do quociente. Ela diz que:
Agora que sabemos que regra usar, basta fazer a substituição de cada item na fórmula.
Então, partiu aplicar essa regra juntinho comigo.
E aí? Bora lá palicar?? 😉
Passo 2
Para usar a regra do quociente precisaremos das funções que chamamos de e e também de suas derivadas. Então, vamos antes de mais nada, calcular as derivadas que precisaremos.
Assim, fazemos
E sua derivada será simplesmente:
Já para
Temos uma função dentro da outra. Logo, para encontrar sua derivada precisamos usar a regra da cadeia.
Mas antes vamos reescrevê-la com expoente fracionário. Assim:
A regra da cadeia diz que quando temos uma função composta, sua derivada será:
Ou seja, fazemos a derivada da função de fora, multiplicada pela derivada da função de dentro.
Estamos tratando
E
Assim, sua derivada será:
Ajeitando um pouco melhor, e substituindo por , ficamos com:
Agora já temos tudo que precisávamos.
Passo 3
Lembrando que nossa derivada será calculada pela regra do quociente, onde:
E vimos que
Substituindo tudo, ficamos com:
Simplificando essa expressão, teremos:
Tirando o mmc no numerador, temos:
Tirando os parênteses e reduzindo os termos semelhantes, ficamos com:
E encontramos nossa derivada! 😉