Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.4 - Ex. 49
Encontre a primeira e a segunda derivadas da função.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão é bem direta ao ponto. Ela dá pra gente a função:
E pede pra gente encontrar sua primeira e sua segunda derivada.
Ou seja, fazemos a primeira derivação e depois aplicamos a derivada novamente na derivada que encontramos para achar a segunda derivada. Ok?
A ideia para resolver essas questões é analisar qual o tipo de função nós temos, e assim saber quais as regras de derivação devemos usar.
Observe que essa função é formada pela multiplicação de duas funções. Sendo elas:
E
Assim, podemos entendê-la como sendo:
E para derivar função assim, usaremos a regra do produto, que diz que a derivada da função é dada por:
Agora que já sabemos que regra usar. Vamos a resolução substituindo tudo nessa fórmula aí.
Passo 2
Veja que precisaremos das funções e , além disso também temos que saber as suas derivadas. Ou seja, e . Então vamos derivar:
Sendo
Para isso temos que usar a regra de derivação de função exponencial, que é na verdade a seguinte regra da cadeia, sendo:
Assim, aplicando a regra encontramos:
Já para a função
Precisamos de regra da cadeia de novo, que será dada por:
Assim, aplicando a regra ficamos com:
E prontinho, agora temos tudo que é necessário para aplicar a fórmula da regra do produto.
Passo 3
Lembrando que
E chamamos:
E
Substituindo tudo teremos:
Show, achamos a primeira derivada.
Passo 4
Agora vamos calcular a segunda derivada com base no que a gente acabou de ver.
O processo ser�� bem parecido, pois temos, novamente o produto entre duas funções, sendo elas:
E nossa derivada será calculada por:
Passo 5
Temos:
E já sabemos que:
E sendo:
Já para calculamos vamos usar a regra da soma e das funções trigonométricas, lembrando que:
Temos:
Show, vamos substituir novamente.
Passo 6
Agora é só substituir na expressão:
Como:
Teremos:
E finalmente, temos a nossa resposta.