Encontre a derivada da função.

d/dx 2^(sen(pi*x))

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos derivar a seguinte função:

y = 2 sen ⁡ π x

Para isso, precisaremos aplicar a regra da cadeia, que é dada por:

d y d x = d y d u ∙ d u d x

Mas antes de a gente prosseguir, fica melhor se aplicarmos a seguinte propriedade dos expoentes:

a b = e b ln ⁡ a

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Aplicando a propriedade dos expoentes, temos:

y = 2 sen ⁡ π x ∴

y = e sen ⁡ π x * ln ⁡ 2

Agora vamos aplicar a regra da cadeia!!

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, ao analisar a função, temos que u = sen ⁡ π x * ln ⁡ 2 , portanto:

d y d x = d d u e u ∙ d d x sen ⁡ π x * ln ⁡ 2 ∴

d y d x = e u ∙ d d x sen ⁡ π x * ln ⁡ 2

Substituindo u , temos:

d y d x = e sen ⁡ π x * ln ⁡ 2 ∙ d d x sen ⁡ π x * ln ⁡ 2

Agora vamos calcular essa derivada que nos restou!! 😉

Passo 4

Retirando a constante, temos:

d y d x = e sen ⁡ π x * ln ⁡ 2 ∙ ln ⁡ 2 * d d x sen ⁡ π x

Aplicando novamente a regra da cadeia, vemos que u = π x . Portanto:

d d x sen ⁡ π x = d d x sen ⁡ u ∙ d d x π x ∴

d d x sen ⁡ π x = cos ⁡ u ∙ π

Substituindo u :

d d x sen ⁡ π x = cos ⁡ π x ∙ π

Passo 5

Assim, aplicando na nossa expressão, temos:

d y d x = e sen ⁡ π x * ln ⁡ 2 ∙ ln ⁡ 2 * d d x sen ⁡ π x ∴

d y d x = e sen ⁡ π x * ln ⁡ 2 ∙ ln ⁡ 2 * cos ⁡ π x ∙ π

Aplicando novamente a propriedade dos expoentes, temos:

d y d x = 2 sen ⁡ π x . π . ln ⁡ 2 . cos ⁡ π x

y ' = 2 sen ⁡ π x . ln ⁡ 2 . cos ⁡ π x . π

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

y ' = 2 sen ⁡ π x . π . ln ⁡ 2 . cos ⁡ π x

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