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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.4 - Ex. 33

Encontre a derivada da função.

(d)/(d x) 2^(sen ( pi x ))

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos derivar a seguinte função:

y = 2^(sen pi x)

Para isso, precisaremos aplicar a regra da cadeia, que é dada por:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) * (d u)/(d x)

Mas antes de a gente prosseguir, fica melhor se aplicarmos a seguinte propriedade dos expoentes:

a^b = e^(b ln (a))

Agora vamos aplicar!! 😉

Passo 2

Aplicando a propriedade dos expoentes, temos:

y = 2^(sen pi x) :.

y = e^(sen pi x * ln (2))

Agora vamos aplicar a regra da cadeia!!

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia, ao analisar a função, temos que u = sen pi x * ln (2) , portanto:

(d y)/(d x) = (d)/(d u) (e^u) * (d)/(d x) (sen pi x * ln (2)) :.

(d y)/(d x) = e^u * (d)/(d x) (sen pi x * ln (2))

Substituindo u , temos:

(d y)/(d x) = e^(sen pi x * ln (2)) * (d)/(d x) (sen pi x * ln (2))

Agora vamos calcular essa derivada que nos restou!! 😉

Passo 4

Retirando a constante, temos:

(d y)/(d x) = e^(sen pi x * ln (2)) * [ln (2) * (d)/(d x) (sen pi x)]

Aplicando novamente a regra da cadeia, vemos que u = pi x . Portanto:

(d)/(d x) (sen pi x) = (d)/(d x) (sen u) * (d)/(d x) (pi x) :.

(d)/(d x) (sen pi x) = cos u * pi

Substituindo u :

(d)/(d x) (sen pi x) = cos (pi x) * pi

Passo 5

Assim, aplicando na nossa expressão, temos:

(d y)/(d x) = e^(sen pi x * ln (2)) * [ln (2) * (d)/(d x) (sen pi x)] :.

(d y)/(d x) = e^(sen pi x * ln (2)) * [ln (2) * cos (pi x) * pi]

Aplicando novamente a propriedade dos expoentes, temos:

(d y)/(d x) = 2^(sen pi x) . pi . ln (2) . cos (pi x)

y ' = 2^(sen pi x) . ln (2) . cos (pi x) . pi

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

y ' = 2^(sen pi x) . pi . ln (2) . cos (pi x)

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Seja g uma função derivável. Verifique qued) [cos sec g (x)]^' = - cos sec g (x) co tan g (x) * g^' (x)
Derive.(c) y = cotan x^2
Seja y = f x uma função derivável num intervalo aberto I , com 1 ∈ I . Suponha f 1 = 1 e que, para todo x em I , f ' x = x + f x 3 .a) Mostre que f ' ' x existe para todo x em I .b) Calcule f ' ' 1 .c
Seja y = x e^(2 x) . Verifique que (d^2 y)/(d x^2) - 4 (d y)/(d x) + 4 y = 0 .