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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.4 - Ex. 44

Encontre a derivada da função.

y = 2 3 x ²

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada a função

y = 2 3 x ²

E nosso objetivo é calcular sua derivada.

Parece complicado, não é?

A primeira coisa que podemos perceber é que x está no expoente da função, então o que podemos fazer para calcular sua derivada é usar a regra da função exponencial...

f x = a x ,     f ' x = a x ln ⁡ a

Mas perceba que o expoente do primeiro termo tem um monte de coisa, então de certo vamos ter que aplicar a regra da cadeia tambem...

f x = g h x ,     f ' x = h ' x · g ' h x

Bora começar!

Passo 2

Vamos começar aplicando a regra da cadeia

f x = g h x = 2 3 x 2

Nesse caso podemos chamar h x = 3 x 2 e g h x = 2 h x

Portanto, pela regra da cadeia...

f ' x = d 3 x 2 d x · d 2 h x d h x

Na segunda derivada, tratamos h x como uma variavel

Perceba que na primeira derivada ainda temos uma função composta, assim, temos que aplicar a regra da cadeia tambem nessa derivada...

Fazendo p x = x 2 , temos

d 3 x 2 d x = d x 2 d x · d 3 p x d p x

Substituindo em f '

f ' x = d x 2 d x · d 3 p x d p x · d 2 h x d h x

Agora, na derivada de x 2 calculamos pela regra da potencia

d x 2 d x = 2 x

Já nas derivadas de 3 p x e 2 h x aplicamos a regra da função exponencial...

d 3 p x d p x = 3 p x ln ⁡ p x

d 2 h x d h x = 2 h x ln ⁡ h x

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora substituímos tudo que encontramos em f '

f ' x = d x 2 d x · d 3 p x d p x · d 2 h x d h x

f ' x = 2 x · 3 p x ln ⁡ p x · 2 h x ln ⁡ h x

Não podemos deixar o resultado em função de p e h , então se p x = x 2 e h x = 3 x 2 , temos

f ' x = 2 x · 3 x 2 ln ⁡ x 2 · 2 3 x 2 ln ⁡ 3 x 2

Como ln ⁡ a b = b ln ⁡ a , temos

f ' x = 2 x · 3 x 2 2 ln ⁡ x · 2 3 x 2 x 2 ln ⁡ 3

Organizando tudo...

f ' x = 4 x 2 3 x 2 ln ⁡ x 2 3 x 2 ln ⁡ 3

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

f ' x = 4 x 2 3 x 2 ln ⁡ x 2 3 x 2 ln ⁡ 3

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