Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 5.3 - Ex. 17
Use a parte 1 do Teorema fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... queremos derivar a seguinte função:
Para isso, devemos utilizar o Teorema Fundamental do Cálculo.
Bom... Sabemos que, da Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo, que se
Então
Imagine uma função , a derivada da sua integral e a sua derivada são como irmãs gêmeas. Quando você deriva uma integral, a função que você está procurando é basicamente a mesma que estava dentro da integral, mas avaliada no limite superior. É como se elas se completassem!
Mas aqui temos como o limite inferior! Então teremos que alterar os limites, lembra que quando mudamos a ordem dos limites precisamos colocar um sinal de negativo? Dessa forma aqui:
Mas aqui temos um detalhe a mais! Nosso limite é uma função e não apenas uma variável, então temos que, primeiro substituir por essa função, gerando assim uma função composta, lembra que a derivada de uma função composta precisa da rega de cadeia?
- Regra da cadeia:
E a única regra de derivada que precisaremos para resolver é a da potência:
É isso que vamos fazer para chegar ao nosso resultado!
Agora vamos aplicar!! 😉
Passo 2
Antes de começarmos, vamos alterar os limites de integração, basta colocar o sinal de na frente e trocar os limites, como vimos no passo 1, então
Agora, vamos derivar a função dada:
Aqui vamos chamar o nosso limite superior de , ok? Então, usando a regra da cadeia, podemos substituir e ficamos com
Então, pela parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo, e substituindo a gente consegue ver que
Substituindo , e lembra que a derivada de uma constante é ?
Agora já temos nossa derivada!
Entendeu direitinho?? Responde aee 😉