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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 1h

Determine a derivada.

f (x) = cos e^x

Passo 1

Vamos analisar a função, temos uma função exponencial dentro de uma função trigonométrica, vamos com calma então pra resolver esse, teremos que utilizar a regra da cadeia, vamos relembrar o formato:

y^' = (d y)/(d x) = (d y)/(d u) * (d u)/(d x)

Onde u = g (x) .

Passo 2

Temos que g (x) é a função mais de dentro e y = f (x) a função mais de fora:

u = g (x) = e^x

Assim:

y = f (x) = cos u

Passo 3

Vamos agora aplicar algumas regras, vamos ter que usar a regra da função trigonométrica e da função exponencial, vamos dá uma olhada nelas:

(cos x)^' = - sen x

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ( x ) '

Agora é só aplicar, vamos lá?

y^' = (d y)/(d x) = (d y)/(d u) * (d u)/(d x) = (d)/(d u) (cos u) * (d)/(d x) (e^x) = - sen u * e^x * (x)^' = - sen u * e^x * x^(1 - 1) = - sen u * e^x * x^0 = - sen u * e^x * 1 = - e^x sen u

Passo 4

Por último é só substituir a expressão de u e pronto:

y^' = - e^x sen u = - e^x sen (e^x)

Resposta

y ' = - e^x sen (e^x)

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