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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 1o

Determine a derivada.

f (x) = e^(tg x)

Passo 1

Vamos analisar a função, temos umafunção trigonométrica em uma função exponencial, vamos com calma então pra resolver esse, teremos que utilizar a regra da cadeia, vamos relembrar o formato:

y^' = (d y)/(d x) = (d y)/(d u) * (d u)/(d x)

Onde u = g (x) .

Passo 2

Temos que g (x) é a função mais de dentro e y = f (x) a função mais de fora:

u = g (x) = tg x

Assim:

y = f (x) = e^u

Passo 3

Vamos agora aplicar algumas regras, vamos ter que usar a regra da função exponencial, do polinômio e da função trigonométrica, vamos dá uma olhada nelas:

(e^(f (x)))^' = e^(f (x)) * f ( x ) '

(x^n)^' = n x^(n - 1)

(tg (x))^' = sec^2 (x)

Agora é só aplicar, vamos lá?

y^' = (d y)/(d x) = (d y)/(d u) * (d u)/(d x) = (d)/(d u) (e^u) * (d)/(d x) (tg x) = e^u . (u)^' * sec^2 (x) = e^u . u^(1 - 1) * sec^2 (x) = e^u . u^0 * sec^2 (x) = e^u . 1 * sec^2 (x) = e^u sec^2 (x)

Passo 4

Por último é só substituir a expressão de u e pronto:

y^' = e^u sec^2 (x) = e^(tg x) sec^2 (x)

Resposta

y ' = e^(tg x) sec^2 (x)

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