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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.4 - Ex. 15

Encontre a derivada da função.

y = x e^(- k x)

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos derivar a seguinte função:

y = x e^(- k x)

Para isso, vamos usar a regra do produto, onde:

(f (x) g (x))^' = f ' (x) g (x) + g ' (x) f (x)

Em que que:

f (x) = x

e

g (x) = e^(- k x)

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Usamos a regra do polinômio pra calcular f ' (x) :

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Assim:

f^' (x) = (x)^' :.

f^' (x) = 1 . x^(1 - 1) :.

f^' (x) = x^0 :.

f^' (x) = 1

Passo 3

Já para calcular g ' ( x ) vamos usar a regra da cadeia, que é dada da seguinte forma:

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) * (d u)/(d x)

Assim, aplicando a regra da cadeia, fazendo u = - k x , temos:

g^' (x) = (d)/(d u) (e^u) * (d)/(d x) (- k x) :.

g^' (x) = e^u * (- k x^(1 - 1)) :.

g^' (x) = e^u * (- k x^0) :.

g^' (x) = - k e^u

Substituindo u , temos:

g^' (x) = - k e^(- k x)

Passo 4

Agora é só substituir na expressão da regra do produto:

(f (x) g (x))^' = f^' (x) g (x) + g^' (x) f (x) :.

(f (x) g (x))^' = 1 . e^(- k x) +- k e^(- k x) . x :.

(f (x) g (x))^' = e^(- k x) (1 - k x)

Entendeu direitinho?? Responde aee 😉

Resposta

y ' = e^(- k x) (1 - k x)

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