Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 3.4 - Ex. 45
Encontre a derivada da função.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão é bem direta ao ponto. Ela dá pra gente a função:
E pede pra gente encontrar a sua derivada.
A ideai para resolver questões dessas é analisar qual o tipo de função nós temos, e assim saber quais as regras de derivação devemos usar. Então faremos isso aqui. Ok?
Observe que essa função tem muitas informações envolvidas, temos o cosseno de raiz quadrada de seno da tangente de .
Ufaaa!!! Difícil até de ler, não é mesmo.
Mas veja! Essa função pode ser entendida como uma função composta, pois temos uma função dentro da outra como se fosse uma casca de cebola.
Indo de dentro pra fora temos a função tangente:
Dentro da função seno, formando:
E essa está dentro de uma raiz quadrada. O que caracteriza outra função:
E essa, por sua vez, está no argumento de uma função cosseno, finamente formando a função que queremos derivar
Ou seja, essa questão pode ser entendida
Ou seja, é uma função composta.
Mas se liga. Para aplicar a regra da cadeia aqui, basta fazer a derivada da função de fora vezes a derivada da função de dentro, e ir repetindo esse processo até chegarmos na derivada mais interna. Sempre de fora pra dentro, pra gente não se perder. Ok?
Assim, nossa derivada será:
Bom, agora que já sabemos o que fazer, vamos aplicar essa regra da cadeia monstro aí.
Vem comigo que vou te mostrar tudinho no passo a passo.
Passo 2
Bom... queremos derivar a seguinte função:
Mas antes vamos dar uma arrumada nessa função:
Show, agora vamos começar a derivação.
Passo 3
Como temos várias funções trigonométricasprecisaremos de suas derivadas. Como elas são tabeladas, já vou coloca-la aqui pra gente. Beleza?
Da função trigonométrica cosseno:
Da função trigonométrica seno:
Da função trigonométrica tangente:
Passo 4
Usamos as quatro regras para calcular , vamos lá:
Agora precisamos resolver essa derivada que nos restou!
Passo 5
Vamos calcular separadamente, para não confundir.
Aplicando a regra da cadeia novamente, temos:
Mais uma derivada que nos restou!! Bora resolver ela ein haha
Passo 6
Novamente, vamos calcular de forma separada, e depois é só substituir de volta.
Aplicando novamente a regra da cadeia, temos:
E para a parte de de dentro da tangente, teremos.
Boa. Já temos nossas derivadas.
Passo 7
Pronto, agora é só substituir tudo de volta.
No passo 4, tínhamos:
Aplicando o resultado do passo 5, obtemos:
Aplicando agora o resultado do passo 6, temos:
Reorganizando, temos:
Entendeu direitinho?? Responde aee 😉