Enunciado

  1. Encontre uma equação da reta tangente à curva
  2. y = 2 1 + e - x    

    no ponto 0,1 .

  3. Ilustre a parte (a) fazendo o gráfico da curva e da tangente na mesma tela.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos encontrar a equação que é tangente a seguinte curva no ponto 0,1 :

y = 2 1 + e - x

Para isso, temos que a equação da reta tangente é do formato:

y - y ₀ = m x - x ₀

O valor m é a inclinação da reta, e é achado calculando a primeira derivada da função e aplicando o valor do ponto pedido, vamos então fazer isso aos poucos.

A questão também quer que ilustremos o que a gente vai calcular de forma que plotemos um gráfico da curva e da tangente na mesma tela.

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Vamos usar a regra da divisão para calcular a derivada de y :

f x g x ' = f ' x g x - f x g ' x g x 2

Temos que:

f x = 2

e

g x = 1 + e - x

Vamos agora só montar na fórmula:

y ' = 2 1 + e - x ' = 2 ' . 1 + e - x - 2 . 1 + e - x ' 1 + e - x 2

Passo 3

A derivada de f ' ( x ) é calculada usando a regra da função constante:

c ' = 0

f ' x = 2 ' ∴

f ' x = 0

Passo 4

A derivada de g ' ( x ) é calculada usando a regra da função constante e regra da cadeia:

c ' = 0

E

e u ' = e u . u '

Assim:

g ' x = 1 + e - x ' ∴

g ' x = 0 + e - x . - x ' ∴

g ' x = e - x - x 1 - 1 ∴

g ' x = e - x - x 0 ∴

g ' x = e - x - 1 ∴

g ' x = - e - x

Passo 5

Agora é só substituir na expressão do passo 2 :

y ' = 2 ' . 1 + e - x - 2 . 1 + e - x ' 1 + e - x 2 ∴

y ' = 0 . 1 + e - x - 2 . - e - x 1 + e - x 2 ∴

y ' = 2 e - x 1 + e - x 2

Passo 6

Vamos agora aplicar no ponto 0,1 :

f ' 0 = 2 e - 0 1 + e - 0 2 ∴

f ' 0 = 2 1 + 1 2 ∴

f ' 0 = 2 4 ∴

f ' 0 = 1 2 = m

Passo 7

Agora é só substituir na fórmula da equação da reta, utilizando o ponto dado:

y - 1 = 1 2 x - 0 ∴

y = x 2 + 1

Passo 8

Ilustração do gráfico

Resposta

y = x 2 + 1

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