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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.11 - Ex. 1f

Determine a derivada.

g (t) = ln (2 t + 1)

Passo 1

Vamos analisar a função, temos um polinômio dentro de uma função logarítmica natural, vamos com calma então pra resolver esse, teremos que utilizar a regra da cadeia, vamos relembrar o formato:

y^' = (d y)/(d t) = (d y)/(d u) * (d u)/(d t)

Onde u = h (t) .

Passo 2

Temos que h (t) é a função mais de dentro e y = g (t) a função mais de fora:

u = h (t) = 2 t + 1

Assim:

y = g (t) = ln u

Passo 3

Vamos agora aplicar algumas regras, vamos ter que usar a regra da função logarítmica natural, da função constante e do polinômio, vamos dá uma olhada nelas:

(ln (f (x)))^' = (1)/(f (x)) * f ( x ) '

(c)^' = 0

(x^n)^' = n x^(n - 1)

Agora é só aplicar, vamos lá?

y^' = (d y)/(d t) = (d y)/(d u) * (d u)/(d t) = (d)/(d u) (ln u) * (d)/(d t) (2 t + 1) = (1)/(u) * (u)^' * (2 t^(1 - 1) + 0) = (1)/(u) * u^(1 - 1) * (2 t^0 + 0) = (1)/(u) * u^0 * (2 * 1) = (1)/(u) * 1 * 2 = (2)/(u)

Passo 4

Por último é só substituir a expressão de u e pronto:

y^' = (2)/(u) = (2)/(2 t + 1)

Resposta

y ' = (2)/(2 t + 1)

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