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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.2 - Ex. 18

Encontre a derivada da função dada:

h (x) = tg^(- 1) (2 x)/(1 - x^2)

Passo 1

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia. E lembrar qual a derivada de tg^(- 1)

(tg^(- 1) x)^' = (1)/(1 + x^2)

Vamos fazer

h (x) = g (f (x))

Com

g (x) = cos^(- 1) x

f (x) = (2 x)/(1 - x^2)

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

h^' (x) = g^' (f (x)) f^' (x)

Temos

g^' (x) = (1)/(1 + x^2)

Que é a derivada de senh^(- 1)

Então

g^' (x) = (1)/(1 + (f (x))^2) f^' (x)

Passo 2

Vamos finalizar achando a derivada de f (x) . Para isso vamos usar a regra do quociente:

f (x) = (2 x)/(1 - x^2) -> f^' (x) = ((2 x)^' (1 - x^2) - 2 x (1 - x^2)^')/((1 - x^2)^2) = (2 (1 - x^2) - 2 x (- 2 x))/((1 - x^2)^2)

f^' (x) = (2 - 2 x^2 + 4 x^2)/((1 - x^2)^2) = (2 + 2 x^2)/((1 - x^2)^2)

Vamos ter

g^' (x) = (1)/(1 + ((2 x)/(1 - x^2))^2) (2 + 2 x^2)/((1 - x^2)^2)

g^' (x) = (1)/(1 + (4 x^2)/((1 - x^2)^2)) (2 + 2 x^2)/((1 - x^2)^2)

g^' (x) = ((1 - x^2)^2)/((1 - x^2)^2 + 4 x^2) (2 + 2 x^2)/((1 - x^2)^2)

g^' (x) = (2 + 2 x^2)/((1 - x^2)^2 + 4 x^2)

Resposta

g^' (x) = (2 + 2 x^2)/((1 - x^2)^2 + 4 x^2)

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Use triângulos de referência como no exemplo 1 para determinar os ângulos nos exercícios abaixo:b) tan - 1 ⁡ ( - 3 )
Determine o limite:underset(x - oo)(lim) (c o s sec^(- 1) x)^()
Use triângulos de referência como no exemplo 1 para determinar os ângulos nos exercícios abaixo:c) tan - 1 ⁡ 1 3
Determine o limite:underset(x - - oo)(lim) (c o s sec^(- 1) x)^()