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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 4

Nos exercícios de 1 a 12, ache os extremos absolutos da função dada no intervalo indicado, se houver algum, e ache os valores de x nos quais os extremos absolutos ocorrem. Faça um esboço do gráfico da função no intervalo.

Passo 1

Seja f x = x 4 - 12 x 2 + 36 = x 2 - 6 2 . Logo, as raízes são x = ± 6 ,   mas como o domínio é [-2,6], só é considerada a solução x = 6 .

Passo 2

Calculando f ' ( x ) , teremos:

f ' x = 4 . x 3 - 12.2 x → f ' x = 4 x 3 - 24 x = 4 x ( x 2 - 6 )

Vejamos que as raízes, dentro do domínio, são: 0   e   6 .

Passo 3

Calculando f ' ' ( x ) , teremos:

f ' ' x = 4.3 x 2 - 24 → f ' ' x = 12 x 2 - 24 → f ' ' x = 12 ( x 2 - 2 )

Daí, tiramos que:

f ' ' ( 0 ) = - 24 → p o n t o   d e   m á x i m o   r e l a t i v o

f ' ' 6 = 48 → p o n t o   d e   m í n i m o   r e l a t i v o

As raízes de f ' ' x são x = ± 2 . Com isso, temos que:

Passo 4

Passo 5

Utilizando esses dados e marcando alguns pontos, chegaremos no seguinte gráfico:

Passo 6

Vejamos que, verificando os pontos extremos do domínio, f - 2 = 4   e   f 6 = 900 . Com isso, temos que 6 é um máximo absoluto. Além disso, f 6 = 0   é um ponto de mínimo absoluto.

Resposta

Gráfico:

E os valores de máximo e mínimo absolutos da função são, respectivamente, 900   q u a n d o   x = 6   e   0   q u a n d o   x = 6 .

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