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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.2 - Ex. 11

Encontre a derivada da função dada:

F (x) = cotg^(- 1) (2)/(x) + tg^(- 1) (x)/(2)

Passo 1

A nossa derivada vai ficar:

F^' (x) = (cotg^(- 1) (2)/(x) + tg^(- 1) (x)/(2))^' = (cotg^(- 1) (2)/(x))^' + (tg^(- 1) (x)/(2))^'

Temos que usar a regra da cadeia nos dosi termos:

Fazendo

A (x) = cotg^(- 1) (2)/(x)

Chamei de A (x) só para deixar organizadinho.

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia.

Vamos fazer

A (x) = g (w (x))

Com

g (x) = cotg^(- 1) x

w (x) = (2)/(x)

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

A^' (x) = g^' (w (x)) w^' (x)

Temos

g^' (x) = - (1)/(1 + x^2)

Então

A^' (x) = - (1)/(1 + (w (y))^2) w^' (x)

Passo 2

Vamos finalizar achando a derivada de w (x)

w (x) = (2)/(x) = 2 x^(- 1) -> w^' (x) = - 2 x^(- 2)

Vamos ter

A^' (x) = - (1)/(1 + ((2)/(x))^2) (- 2 x^(- 2))

A^' (x) = ((2)/(x^2))/(1 + (4)/(x^2)) = ((2)/(x^2))/((x^2 + 4)/(x^2)) = (2)/(x^2 + 4)

Passo 3

Fazendo

B (x) = tg^(- 1) (2)/(x)

Chamei de B (x) só para deixar organizadinho.

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia.

Vamos fazer

B (x) = h (m (x))

Com

h (x) = tg^(- 1) x

m (x) = (2)/(x)

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

B^' (x) = h^' (m (x)) m^' (x)

Temos

h^' (x) = (1)/(1 + x^2)

Então

B^' (x) = (1)/(1 + (m (y))^2) m^' (x)

Passo 4

Vamos finalizar achando a derivada de m (x)

m (x) = (x)/(2) -> m^' (x) = (1)/(2)

Vamos ter

B^' (x) = (1)/(1 + ((x)/(2))^2) ((1)/(2))

B^' (x) = ((1)/(2))/(1 + (x^2)/(4)) = ((1)/(2))/((x^2 + 4)/(4)) = (2)/(x^2 + 4)

Passo 5

Voltando para nossa função inicial:

F^' (x) = (cotg^(- 1) (2)/(x) + tg^(- 1) (x)/(2))^' = (cotg^(- 1) (2)/(x))^' + (tg^(- 1) (x)/(2))^'

F^' (x) = (2)/(x^2 + 4) + (2)/(x^2 + 4) = (4)/(x^2 + 4)

Resposta

F^' (x) = (4)/(x^2 + 4)

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Encontre a derivada da função dada:f (x) = 4 sen^(- 1) (1)/(2) x + x sqrt(4 - x^2)
Ache (d y)/(d x) ln (sen^2 3 x) = e^x + cotg^(- 1) y
Use triângulos de referência como no exemplo 1 para determinar os ângulos nos exercícios abaixo:a) tan - 1 ⁡ - 1
Use triângulos de referência como no exemplo 1 para determinar os ângulos nos exercícios abaixo:b) cos - 1⁡ 1 / 2
Use triângulos de referência como no exemplo 1 para determinar os ângulos nos exercícios abaixo:a) tan - 1 ⁡ 3