Encontre a derivada da função dada:

g(x) = x^2 \* sec^(-1)(1/x)

Passo 1

g x = x 2 sec - 1 ⁡ 1 x

Vamos usar a regra da cadeia e regra do produto aqui. Pela regra do produto

g ' x = x 2 ' sec - 1 ⁡ 1 x + x 2 sec - 1 ⁡ 1 x '

Temos que achar a derivada daquele cosh - 1 ⁡ x 2 usando a regra da cadeia.

Fazendo

F x = sec - 1 ⁡ 1 x

Chamei de F x só para deixar organizadinho.

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia.

Vamos fazer

F x = w h x

Com

w x = sec - 1 ⁡ x

h x = 1 x = x - 1

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

F ' x = w ' h x h ' x

Temos

w ' x = 1 x x 2 - 1

Então

F ' x = 1 h x h x 2 - 1 h ' x

Passo 2

Vamos finalizar achando a derivada de h x

h x = x - 1 → h ' x = - 1 x - 2 = - 1 x 2

Vamos ter

F ' x = 1 x - 1 x - 1 2 - 1 - 1 x 2

F ' x = 1 x - 1 x - 2 - 1 - 1 x 2

F ' x = 1 x - 1 1 x 2 - 1 - 1 x 2

F ' x = 1 1 x 1 - x 2 x 2 - 1 x 2

F ' x = 1 1 - x 2 x x 2 - 1 x 2

F ' x = 1 1 - x 2 x x - 1 x 2

F ' x = 1 1 - x 2 x 2 - 1 x 2

F ' x = - 1 1 - x 2

Passo 3

Voltando para nossa função inicial:

g ' x = x 2 ' sec - 1 ⁡ 1 x + x 2 sec - 1 ⁡ 1 x '

g ' x = 2 x sec - 1 ⁡ 1 x + x 2 - 1 1 - x 2

g ' x = 2 x sec - 1 ⁡ 1 x - x 2 1 1 - x 2

Resposta

g ' x = 2 x sec - 1 ⁡ 1 x - x 2 1 1 - x 2

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