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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.2 - Ex. 15

Encontre a derivada da função dada:

g (x) = x^2 sec^(- 1) (1)/(x)

Passo 1

g (x) = x^2 sec^(- 1) (1)/(x)

Vamos usar a regra da cadeia e regra do produto aqui. Pela regra do produto

g^' (x) = (x^2)^' sec^(- 1) (1)/(x) + x^2 (sec^(- 1) (1)/(x))^'

Temos que achar a derivada daquele cosh^(- 1) x^2 usando a regra da cadeia.

Fazendo

F (x) = sec^(- 1) (1)/(x)

Chamei de F (x) só para deixar organizadinho.

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia.

Vamos fazer

F (x) = w (h (x))

Com

w (x) = sec^(- 1) x

h (x) = (1)/(x) = x^(- 1)

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

F^' (x) = w^' (h (x)) h^' (x)

Temos

w^' (x) = (1)/(|x| sqrt(x^2 - 1))

Então

F^' (x) = (1)/(|h (x)| sqrt((h (x))^2 - 1)) h^' (x)

Passo 2

Vamos finalizar achando a derivada de h (x)

h (x) = x^(- 1) -> h^' (x) = - 1 x^(- 2) = - (1)/(x^2)

Vamos ter

F^' (x) = (1)/(|x^(- 1)| sqrt((x^(- 1))^2 - 1)) (- (1)/(x^2))

F^' (x) = (1)/(|x^(- 1)| sqrt(x^(- 2) - 1)) (- (1)/(x^2))

F^' (x) = (1)/(|x^(- 1)| sqrt((1)/(x^2) - 1)) (- (1)/(x^2))

F^' (x) = (1)/(|(1)/(x)| sqrt((1 - x^2)/(x^2))) (- (1)/(x^2))

F^' (x) = (1)/((sqrt(1 - x^2))/(|x| sqrt(x^2))) (- (1)/(x^2))

F^' (x) = (1)/((sqrt(1 - x^2))/(|x| |x|)) (- (1)/(x^2))

F^' (x) = (1)/((sqrt(1 - x^2))/(x^2)) (- (1)/(x^2))

F^' (x) = - (1)/(sqrt(1 - x^2))

Passo 3

Voltando para nossa função inicial:

g^' (x) = (x^2)^' sec^(- 1) (1)/(x) + x^2 (sec^(- 1) (1)/(x))^'

g^' (x) = 2 x sec^(- 1) (1)/(x) + x^2 (- (1)/(sqrt(1 - x^2)))

g^' (x) = 2 x sec^(- 1) (1)/(x) - x^2 (1)/(sqrt(1 - x^2))

Resposta

g^' (x) = 2 x sec^(- 1) (1)/(x) - x^2 (1)/(sqrt(1 - x^2))

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