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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.2 - Ex. 21

Encontre a derivada da função dada:

f (x) = 4 sen^(- 1) (1)/(2) x + x sqrt(4 - x^2)

Passo 1

A nossa derivada vai ficar:

f^' (x) = (4 sen^(- 1) (1)/(2) x + x sqrt(4 - x^2))^' = (4 sen^(- 1) (1)/(2) x)^' + (x sqrt(4 - x^2))^'

Primeiro usamos a regra do produto no segundo termo:

f^' (x) = (4 sen^(- 1) (1)/(2) x)^' + (x)^' (sqrt(4 - x^2)) + (x) (sqrt(4 - x^2))^'

f^' (x) = (4 sen^(- 1) (1)/(2) x)^' + (sqrt(4 - x^2)) + (x) (sqrt(4 - x^2))^'

Temos que usar a regra da cadeia nos doi termos que faltam:

Fazendo

A (x) = 4 sen^(- 1) (1)/(2) x

Chamei de A (x) só para deixar organizadinho.

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia.

Vamos fazer

A (x) = g (w (x))

Com

g (x) = 4 sen^(- 1) x

w (x) = (1)/(2) x

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

A^' (x) = g^' (w (x)) w^' (x)

Temos

g^' (x) = 4 (1)/(sqrt(1 - x^2))

Então

A^' (x) = 4 (1)/(sqrt(1 - (w (x))^2)) w^' (x)

Passo 2

Vamos finalizar achando a derivada de w (x)

w (x) = (1)/(2) x -> w^' (x) = (1)/(2)

Vamos ter

A^' (x) = 4 (1)/(sqrt(1 - ((x)/(2))^2)) (1)/(2)

A^' (x) = (2)/(sqrt(1 - (x^2)/(4))) = (2)/(sqrt((4 - x^2)/(4))) = (2)/((sqrt(4 - x^2))/(sqrt(4))) = (2)/((sqrt(4 - x^2))/(2)) = (4)/(sqrt(4 - x^2))

Passo 3

Fazendo

B (x) = sqrt(4 - x^2)

Chamei de B (x) só para deixar organizadinho.

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia.

Vamos fazer

B (x) = h (m (x))

Com

h (x) = sqrt(x) = x^((1)/(2))

m (x) = 4 - x^2

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

B^' (x) = h^' (m (x)) m^' (x)

Temos

h^' (x) = (1)/(2) x^(- (1)/(2)) = (1)/(2 sqrt(x))

Então

B^' (x) = (1)/(2 sqrt(m (x))) m^' (x)

Passo 4

Vamos finalizar achando a derivada de m (x)

m (x) = 4 - x^2 -> m^' (x) = - 2 x

Vamos ter

B^' (x) = (1)/(2 sqrt(4 - x^2)) (- 2 x)

B^' (x) = - (x)/(sqrt(4 - x^2))

Passo 5

Voltando para nossa função inicial:

f^' (x) = (4 sen^(- 1) (1)/(2) x)^' + (sqrt(4 - x^2)) + (x) (sqrt(4 - x^2))^'

f^' (x) = (4)/(sqrt(4 - x^2)) + (sqrt(4 - x^2)) + (x) (- (x)/(sqrt(4 - x^2)))

f^' (x) = (4)/(sqrt(4 - x^2)) + sqrt(4 - x^2) - (x^2)/(sqrt(4 - x^2))

f^' (x) = (4 - x^2)/(sqrt(4 - x^2)) + sqrt(4 - x^2)

Como

4 - x^2 = sqrt((4 - x^2)^2)

Teremos

f^' (x) = (sqrt((4 - x^2)^2))/(sqrt(4 - x^2)) + sqrt(4 - x^2)

f^' (x) = sqrt(4 - x^2) + sqrt(4 - x^2)

f^' (x) = 2 sqrt(4 - x^2)

Resposta

f^' (x) = 2 sqrt(4 - x^2)

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