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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.5 - Ex. 18

Encontre a derivada da função dada:

h (x) = (sech^(- 1) x)^2

Passo 1

Para fazer essa derivada precisamos usar a regra da cadeia. E lembrar qual a derivada de sec h^(- 1)

(sech^(- 1) x)^' = - (1)/(|x| sqrt(x^2 + 1))

Vamos fazer

h (x) = f (g (x))

Com

f (x) = x^2

g (x) = sech^(- 1) x

Só para organizar as nossas contas.

Vamos ter

h^' (x) = f^' (g (x)) g^' (x)

Temos

f^' (x) = 2 x

Que é a derivada de cosh^(- 1)

Então

h^' (x) = 2 (g (x)) g^' (x)

Passo 2

Vamos finalizar achando a derivada de g (x)

g (x) = sech^(- 1) x -> g^' (x) = - (1)/(|x| sqrt(x^2 + 1))

Vamos ter

h^' (x) = 2 (sech^(- 1) x) (- (1)/(|x| sqrt(x^2 + 1)))

h^' (x) = - (2 sech^(- 1) x)/(|x| sqrt(x^2 + 1))

Resposta

h^' (x) = - (2 sech^(- 1) x)/(|x| sqrt(x^2 + 1))

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