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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.Revisão - Ex. 49

Ache a derivada da função:

h (w) = w^2 senh^(- 1) 2 w

Passo 1

Para resolver essa, precisaremos utilizar a regra do produto e depois regra da cadeia, pois temos uma multiplicação de funções f (x) = w^2 e g (x) = senh^(- 1) 2 w .

Vamos começar então aplicando a derivada do produto.

(f (x) g (x)) ' = f ' (x) g (x) + f (x) g ' ( x ) .

h ' (w) = ( w^2 ) ' ( senh^(- 1) 2 w ) + ( w^2 ) ( senh^(- 1) 2 w ) '

h ' (w) = 2 w ( senh^(- 1) 2 w ) + ( w^2 ) ( senh^(- 1) 2 w ) '

Acima eu usei a derivada de um polinômio (w^2) ' = 2 w .

Passo 2

Precisamos de ( senh^(- 1) 2 w ) ' , para isso devemos lembrar a derivada:

( senh^(- 1) x ) ' = (1)/(sqrt(x^2 + 1))

Porém, quando temos uma função no lugar de x , devemos utilizar a regra da cadeia. Teremos então a fórmula abaixo que adapta o caso e facilita o nosso trabalho quando u é uma função de x .

( senh^(- 1) u ) ' = (u ')/(sqrt(u^2 + 1))

Passo 3

No nosso exemplo, g (x) = senh^(- 1) underset(u)(ubrace (2 w)) , logo u = 2 w e basta substituir na fórmula da derivada apresentada, ficando com:

( senh^(- 1) 2 w ) ' = ((2 w))/(sqrt((2 w)^2 + 1)) = (2)/(sqrt(4 w^2 + 1))

Passo 4

Substituindo a derivada ( senh^(- 1) 2 w ) ' = (2)/(sqrt(4 w^2 + 1)) em:

h ' (w) = 2 w ( senh^(- 1) 2 w ) + ( w^2 ) ( senh^(- 1) 2 w ) '

Ficamos com:

h ' (w) = 2 w ( senh^(- 1) 2 w ) + (2 w^2)/(sqrt(4 w^2 + 1))

Prontinho!

Resposta

h ' (w) = 2 w ( senh^(- 1) 2 w ) + (2 w^2)/(sqrt(4 w^2 + 1))

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