Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 13
Encontre a derivada implícita de
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão da pra gente a equação
E pede para gente encontrar derivando implicitamente.
Para fazer isso precisaremos derivar os dois lados da equação assumindo que é uma função de .
Ao fazermos isso, precisaremos usar a regra da cadeia para os casos onde estará dentro de outra função.
Depois basta isolar como sendo e termos nossa derivada pedida.
Vem que te mostro tudinho no passo a passo.
Passo 2
Vamos derivar a equação dada com relação a .
Sendo
Derivando a equação
Podemos derivar cada termos da equação. Assim
Vamos derivar cada um dos termos isoladamente. Beleza?!
Passo 3
Vamos começar derivando o lado esquerdo da equação.
Perceba que aqui temos uma função dentro da outra, e como estamos derivando em função de , devemos aplicar a regra da cadeia em , pois temos aqui uma composição de funções.
A regra da cadeia é posta em pratica assim:
Se
e
então e
Então primeiro iremos derivar e depois iremos derivar a :
Perfeito.
Passo 4
Agora vamos derivar o lado direito da equação
Para a primeira usaremos a regra do expoente, já para a segunda usaremos novamente a regra da cadeia. Assim:
Maravilha.
Passo 5
Agora vamos igualar os dois lados que encontramos. Assim:
Então, devemos isolar para encontrarmos a derivada implícita de :
E por fim:
Prontinho, essa é nossa derivada.