Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 19
Encontre a derivada implícita de :
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão da pra gente a equação
E pede para gente encontrar derivando implicitamente.
Para fazer isso precisaremos derivar os dois lados da equação assumindo que é uma função de .
Ao fazermos isso, precisaremos usar a regra da cadeia para os casos onde estará dentro de outra função.
Depois basta isolar e termos nossa derivada pedida.
Vem que te mostro tudinho no passo a passo.
Passo 2
Nossa função é:
E derivando em ambos os lados: ficaremos com:
Como teremos que derivar os dois lados da equação, vamos olhar para cada um deles separadamente.
Passo 3
Começando com o lado esquerdo temos:
Perceba que aqui temos uma função seno e dentro dela temos um produto entre e . Ou seja, temos uma função dentro da outra, o que caracteriza uma função composta.
Podemos pensar nela como
Onde
Para fazer sua derivada, devemos aplicar a regra da cadeia
A regra da cadeia diz:
Se
é dada por:
Ou seja, faremos a derivada da função de fora multiplicada pela derivada da função de dentro.
A função de fora é
E sua derivada é tabelada e dada por:
Já a função de dentro é
Como ela é formada por uma multiplicação entre e , sua derivada será dada pela regra do produto. Sendo a derivada da primeira, vezes a segunda, mais a primeira, vezes a derivada da segunda.
Assim:
O que nos dá:
Juntando tudo, teremos:
Como
Ficamos com:
Multiplicando tudo teremos:
Boa.
Passo 4
Agora vamos fazer a derivada do lado direito
Que também é uma função composta. Então, de modo análogo e lembrando que a derivada do cosseno é igual a menos o seno, teremos:
O que nos dará:
Fazendo a multiplicação distributiva, ficamos com:
Passo 5
Igualando as derivadas dos dois lados, teremos:
Com sendo:
Então, devemos isolar para encontrarmos a derivada implícita de . E teremos:
Isolando
E prontinho!