Encontre y ' a derivada implícita de sen ⁡ ( x y ) = cos ⁡ ( x + y ) :

Passo 1

Fala aí, tudo certinho com você?

Bom, essa questão da pra gente a equação

sen ⁡ ( x y ) = cos ⁡ ( x + y )

E pede para gente encontrar y ' derivando implicitamente.

Para fazer isso precisaremos derivar os dois lados da equação assumindo que y é uma função de x .

Ao fazermos isso, precisaremos usar a regra da cadeia para os casos onde y estará dentro de outra função.

Depois basta isolar y ' e termos nossa derivada pedida.

Vem que te mostro tudinho no passo a passo.

Passo 2

Nossa função é:

sen ⁡ ( x y ) = cos ⁡ ( x + y )

E derivando em ambos os lados: ficaremos com:

sen ⁡ x y ' = cos ⁡ x + y '

Como teremos que derivar os dois lados da equação, vamos olhar para cada um deles separadamente.

Passo 3

Começando com o lado esquerdo temos:

sen ⁡ x y '

Perceba que aqui temos uma função seno e dentro dela temos um produto entre x e y . Ou seja, temos uma função dentro da outra, o que caracteriza uma função composta.

Podemos pensar nela como

f g x = sen ⁡ g

Onde

g x = x y  

Para fazer sua derivada, devemos aplicar a regra da cadeia

A regra da cadeia diz:

Se

F x = f ( g x )

F ' é dada por:

F ' x = f ' g x ∙ g ' ( x )

Ou seja, faremos a derivada da função de fora multiplicada pela derivada da função de dentro.

A função de fora é

f g x = sen ⁡ g

E sua derivada é tabelada e dada por:

f ' g x = cos ⁡ g

Já a função de dentro é

g x = x y

Como ela é formada por uma multiplicação entre x e y , sua derivada será dada pela regra do produto. Sendo a derivada da primeira, vezes a segunda, mais a primeira, vezes a derivada da segunda.

Assim:

g ' x = x ' ⋅ y + x ⋅ y '

O que nos dá:

g ' x = y + x y '

Juntando tudo, teremos:

sen ⁡ x y ' = cos ⁡ g y + x y '

Como g = x y

Ficamos com:

sen ⁡ x y ' = y + x y ' cos ⁡ x y

Multiplicando tudo teremos:

sen ⁡ x y ' = x cos ⁡ ( x y ) y ' + y cos ⁡ ( x y )

Boa.

Passo 4

Agora vamos fazer a derivada do lado direito

cos ⁡ x + y '

Que também é uma função composta. Então, de modo análogo e lembrando que a derivada do cosseno é igual a menos o seno, teremos:

cos ⁡ x + y ' = cos ' ⁡ x + y ⋅ x + y '

O que nos dará:

cos ⁡ x + y ' = - sen ⁡ x + y 1 + y '

Fazendo a multiplicação distributiva, ficamos com:

cos ⁡ x + y ' = - sen ⁡ x + y - y ' sen ⁡ ( x + y )

Passo 5

Igualando as derivadas dos dois lados, teremos:

sen ⁡ x y ' = cos ⁡ x + y '

Com sendo:

x cos ⁡ ( x y ) y ' + y cos ⁡ ( x y ) = - sen ⁡ x + y - y ' sen ⁡ ( x + y )

Então, devemos isolar y ' para encontrarmos a derivada implícita de y . E teremos:

x cos ⁡ x y + sen ⁡ x + y y ' = - 1 [ y cos ⁡ x y + sen ⁡ x + y ]

Isolando y '

y ' = - y cos ⁡ x y + sen ⁡ x + y x cos ⁡ x y + sen ⁡ x + y

E prontinho!

Resposta

y ' = - y cos ⁡ x y + sen ⁡ x + y x cos ⁡ x y + sen ⁡ x + y

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados