Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 12
Encontre derivando implicitamente.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão da pra gente a equação
E pede para gente encontrar derivando implicitamente.
Para fazer isso precisaremos derivar os dois lados da equação assumindo que é uma função de .
Ao fazermos isso, precisaremos usar a regra da cadeia para os casos onde estará dentro de outra função.
Depois basta isolar como sendo e termos nossa derivada pedida.
Vem que te mostro tudinho no passo a passo.
Passo 2
Vamos derivar a equação dada com relação a .
Sendo
Derivando a equação
Podemos derivar cada termos da equação. Assim
Vamos derivar cada um dos termos isoladamente. Beleza?!
Para o lado esquerdo, temos:
Lembrando que a derivada de constante é igual a zero, essa derivada será:
Passo 3
Agora para o lado direito teremos que fazer
Aqui é importante lembrar que não podemos tratar como uma constante: ele depende de e também deve ser derivado!!! Assim, precisaremos usar a regra da cadeia para ele
Fazemos a derivada da função de fora multiplicada pela derivada da função de dentro. Assim:
Perceba que na derivada da função de dentro , temos um produto entre duas funções, sendo essa:
E
Então usaremos a regra do produto dada por
Assim, se
Então
E se
E aplicando na regra do produto, ficamos com:
Assim, com tínhamos
Ficamos com:
Portanto,
Show, agora basta igualar os dois lados que encontramos.
Passo 4
Agora basta igualar os dois lados que encontramos, e teremos:
Isolando , temos que
E prontinho. Derivada implícita calculada!