Encontre dy/dx a derivada implícita de (2x)^2 + xy - y^2 = 2 :

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos y ' por derivação implícita. Logo, vamos derivar os dois lados da equação:

2 x 2 + x y - y 2 = 2 d d x 2 x 2 + x y - y 2 = d d x ( 2 )

Como estamos derivando em função de x , devemos aplicar a regra da cadeia em y e a regra do produto no termo x y . A regra do produto é dada por :

d d x u v = u v ' + u ' v

Já a regra da cadeia:

Se y = f g x e u = g ( x ) , então y = f ( y ) e

d y d x = d y d u ∙ d u d x

Passo 2

Aplicando a derivação em ambos os lados:

4 x + y + x y ' - 2 y y ' = 0

4 x + y + x y ' - 2 y y ' = 0

Então, devemos isolar y ' para encontrarmos a derivada implícita de y :

4 x + y + y ' ( x - 2 y ) = 0

y ' = - y - 4 x x - 2 y

Resposta

y ' = - y - 4 x x - 2 y

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