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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 6

Encontre d y // d x a derivada implícita de 2 x^2 + x y - y^2 = 2 :

Passo 1

Fala aí pessoal, partiu resolver mais um problema de cálculo. Este problema nos pede para acharmos y ' por derivação implícita. Logo, vamos derivar os dois lados da equação:

2 x^2 + x y - y^2 = 2 (d)/(d x) (2 x^2 + x y - y^2) = (d)/(d x) ( 2 )

Como estamos derivando em função de x , devemos aplicar a regra da cadeia em y e a regra do produto no termo x y . A regra do produto é dada por :

(d)/(d x) (u v) = u v^' + u^' v

Já a regra da cadeia:

Se y = f (g (x)) e u = g ( x ) , então y = f ( y ) e

(d y)/(d x) = (d y)/(d u) * (d u)/(d x)

Passo 2

Aplicando a derivação em ambos os lados:

4 x + (y + x y^') - 2 y y^' = 0

4 x + y + x y^' - 2 y y^' = 0

Então, devemos isolar y ' para encontrarmos a derivada implícita de y :

4 x + y + y ' ( x - 2 y ) = 0

y^' = (- y - 4 x)/(x - 2 y)

Resposta

y^' = (- y - 4 x)/(x - 2 y)

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