Enunciado
Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 3.5 - Ex. 11
Encontre derivando implicitamente.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão da pra gente a equação
E pede para gente encontrar derivando implicitamente.
Para fazer isso precisaremos derivar os dois lados da equação assumindo que é uma função de .
Ao fazermos isso, precisaremos usar a regra da cadeia para os casos onde estará dentro de outra função.
Depois basta isolar como sendo e termos nossa derivada pedida.
Vem que te mostro tudinho no passo a passo.
Passo 2
Vamos derivar a equação dada com relação a .
Sendo
Derivando a equação
Podemos derivar cada termos da equação. Assim
Vamos derivar cada um dos termos isoladamente. Beleza?!
Passo 3
Começando com
Perceba que aqui temos uma multiplicação entre duas funções. Sendo assim, podemos chamar:
E
E a derivada dessa multiplicação será dada pela regra do produto, onde:
Assim, fazendo as derivadas de e , teremos:
Pela regra do expoente
Já para
É importante lembrar que não podemos tratar como uma constante: ele depende de e também deve ser derivado!!!
Assim, teremos que usar a regra da cadeia, dada por:
E ficamos com
Maravilha!
Agora basta substituir tudo isso na regra do produto
Que pode ser escrita como:
Passo 4
Vamos agora para a derivada
Aqui também temos um produto, logo faremos:
Com
E
E usando a regra da cadeia, teremos:
Substituindo da regra do produto, teremos:
Assim:
Que pode ser escrito como:
Perfeito.
Passo 5
Agora só falta a derivada de que está do lado direito.
E a derivada de uma constante é igual a zero. Assim:
Agora vamos juntar tudo isso.
Passo 6
com relação a , temos que
Isolando , temos que
E por, fim:
Prontinho, temos nossa derivada implícita.